Seorang anak diharuskan dua jenis minum tablet setiap hari.

Pengeluaran minimum adalah Rp12.000,00.

Pembahasan

Ini adalah masalah program linear yang dapat diselesaikan dengan metode grafik atau substitusi untuk mencari nilai minimum pengeluaran.

Mari kita definisikan variabel:
Misalkan x = jumlah tablet jenis I per hari
Misalkan y = jumlah tablet jenis II per hari

Fungsi tujuan (yang ingin diminimalkan) adalah biaya:
Biaya = 4000x + 8000y

Kendala berdasarkan kebutuhan vitamin:
Vitamin A: 10x + 10y ≥ 25
Vitamin B: 3x + 1y ≥ 5

Kendala tambahan (jumlah tablet tidak bisa negatif):
x ≥ 0
y ≥ 0

Kita perlu mencari nilai x dan y yang memenuhi kendala tersebut dan memberikan biaya minimum.

Sederhanakan kendala vitamin A:
10x + 10y ≥ 25  => x + y ≥ 2.5

Sekarang kita punya sistem pertidaksamaan:
1) x + y ≥ 2.5
2) 3x + y ≥ 5
3) x ≥ 0
4) y ≥ 0

Kita akan mencari titik-titik pojok dari daerah yang memenuhi kendala ini. Titik-titik potong antar garis kendala adalah kandidat solusi.

Cari titik potong antara x + y = 2.5 dan 3x + y = 5:
Kurangkan persamaan pertama dari persamaan kedua:
(3x + y) - (x + y) = 5 - 2.5
2x = 2.5
x = 1.25

Substitusikan x = 1.25 ke x + y = 2.5:
1.25 + y = 2.5
y = 2.5 - 1.25
y = 1.25

Jadi, salah satu titik potong adalah (1.25, 1.25).

Periksa titik pojok lainnya:
- Titik potong 3x + y = 5 dengan sumbu x (y=0):
3x + 0 = 5 => x = 5/3 ≈ 1.67. Titik (5/3, 0).
- Titik potong x + y = 2.5 dengan sumbu y (x=0):
0 + y = 2.5 => y = 2.5. Titik (0, 2.5).

Karena anak tersebut harus mengonsumsi tablet, jumlah tablet harus bilangan bulat. Kita perlu mempertimbangkan titik-titik bulat di dalam atau di batas daerah yang layak.

Mari evaluasi fungsi biaya pada titik-titik pojok yang mungkin (atau titik bulat terdekat yang layak):

Kita perlu memeriksa titik-titik bulat di sekitar (1.25, 1.25) dan titik-titik yang memenuhi kendala:

Coba titik bulat (x, y):
- Jika x=1, y=2: Memenuhi x+y ≥ 2.5 (1+2=3) dan 3x+y ≥ 5 (3*1+2=5). Layak.
  Biaya = 4000(1) + 8000(2) = 4000 + 16000 = 20000.
- Jika x=2, y=1: Memenuhi x+y ≥ 2.5 (2+1=3) dan 3x+y ≥ 5 (3*2+1=7). Layak.
  Biaya = 4000(2) + 8000(1) = 8000 + 8000 = 16000.
- Jika x=1, y=3: Memenuhi x+y ≥ 2.5 (1+3=4) dan 3x+y ≥ 5 (3*1+3=6). Layak.
  Biaya = 4000(1) + 8000(3) = 4000 + 24000 = 28000.
- Jika x=2, y=2: Memenuhi x+y ≥ 2.5 (2+2=4) dan 3x+y ≥ 5 (3*2+2=8). Layak.
  Biaya = 4000(2) + 8000(2) = 8000 + 16000 = 24000.
- Jika x=3, y=0: Memenuhi x+y ≥ 2.5 (3+0=3) dan 3x+y ≥ 5 (3*3+0=9). Layak.
  Biaya = 4000(3) + 8000(0) = 12000.
- Jika x=0, y=3: Memenuhi x+y ≥ 2.5 (0+3=3) dan 3x+y ≥ 5 (3*0+3=3). TIDAK LAYAK (kendala vitamin B tidak terpenuhi).
- Jika x=0, y=5: Memenuhi x+y ≥ 2.5 (0+5=5) dan 3x+y ≥ 5 (3*0+5=5). Layak.
  Biaya = 4000(0) + 8000(5) = 40000.
- Jika x=1, y=1: Memenuhi x+y ≥ 2.5 (1+1=2). TIDAK LAYAK.

Mari kita periksa titik bulat terdekat dengan solusi non-bulat (1.25, 1.25) yang memenuhi kendala:
Titik (1,2) => Biaya 20000
Titik (2,1) => Biaya 16000
Titik (2,2) => Biaya 24000
Titik (1,3) => Biaya 28000

Kita juga perlu mempertimbangkan titik yang memenuhi kendala: 3x + y = 5.
Jika x=1, 3(1)+y=5 => y=2. Titik (1,2), Biaya = 20000.
Jika x=2, 3(2)+y=5 => y=-1. Tidak layak.

Kita perlu mempertimbangkan titik yang memenuhi kendala: x + y = 2.5.
Jika x=1, 1+y=2.5 => y=1.5. Titik (1, 1.5). Karena y harus bulat, kita coba y=2. Titik (1,2).
Jika x=2, 2+y=2.5 => y=0.5. Titik (2, 0.5). Karena y harus bulat, kita coba y=1. Titik (2,1).

Perbandingan biaya:
(1, 2) -> Rp 20.000
(2, 1) -> Rp 16.000
(3, 0) -> Rp 12.000

Mari kita periksa titik (3,0): Vitamin A = 10(3) + 10(0) = 30 (≥ 25), Vitamin B = 3(3) + 1(0) = 9 (≥ 5). Titik (3,0) layak.

Nilai minimum biaya yang ditemukan adalah Rp12.000,00 dengan mengonsumsi 3 tablet jenis I dan 0 tablet jenis II.