Tentukan himpunan penyelesaian setiap persamaan

Himpunan penyelesaiannya adalah { -5, 2, 4 }.

Pembahasan

Persamaan eksponensial yang diberikan adalah:
(x^2 - 4x + 3)^(x^2 + 2x - 15) = (2x - 5)^(x^2 + 2x - 15)

Agar kedua sisi persamaan sama, ada tiga kemungkinan:

1. Pangkatnya sama dengan nol:
x^2 + 2x - 15 = 0
(x + 5)(x - 3) = 0
x = -5 atau x = 3

Jika x = -5, maka:
Basis kiri: (-5)^2 - 4(-5) + 3 = 25 + 20 + 3 = 48
Basis kanan: 2(-5) - 5 = -10 - 5 = -15
(48)^0 = (-15)^0 => 1 = 1. Jadi, x = -5 adalah solusi.

Jika x = 3, maka:
Basis kiri: (3)^2 - 4(3) + 3 = 9 - 12 + 3 = 0
Basis kanan: 2(3) - 5 = 6 - 5 = 1
(0)^0 = (1)^0 => Tidak terdefinisi atau 1 = 1. Namun, basis 0^0 biasanya tidak dianggap. Mari kita periksa basisnya.
Jika basis kiri adalah 0, maka 0^0. Jika basis kanan adalah 1, maka 1^0 = 1. Jadi, x=3 bukan solusi.

2. Basisnya sama dan bukan nol:
x^2 - 4x + 3 = 2x - 5
x^2 - 4x - 2x + 3 + 5 = 0
x^2 - 6x + 8 = 0
(x - 2)(x - 4) = 0
x = 2 atau x = 4

Jika x = 2, maka:
Pangkat: (2)^2 + 2(2) - 15 = 4 + 4 - 15 = -7
Basis kiri: (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1
Basis kanan: 2(2) - 5 = 4 - 5 = -1
(-1)^(-7) = (-1)^(-7). Jadi, x = 2 adalah solusi.

Jika x = 4, maka:
Pangkat: (4)^2 + 2(4) - 15 = 16 + 8 - 15 = 9
Basis kiri: (4)^2 - 4(4) + 3 = 16 - 16 + 3 = 3
Basis kanan: 2(4) - 5 = 8 - 5 = 3
(3)^9 = (3)^9. Jadi, x = 4 adalah solusi.

3. Basisnya berlawanan (-1) dan pangkatnya genap:
x^2 - 4x + 3 = -(2x - 5)
x^2 - 4x + 3 = -2x + 5
x^2 - 4x + 2x + 3 - 5 = 0
x^2 - 2x - 2 = 0
Menggunakan rumus kuadratik: x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
x = [2 ± sqrt((-2)^2 - 4(1)(-2))] / 2(1)
x = [2 ± sqrt(4 + 8)] / 2
x = [2 ± sqrt(12)] / 2
x = [2 ± 2*sqrt(3)] / 2
x = 1 ± sqrt(3)

Sekarang kita cek apakah pangkatnya genap untuk nilai x ini:
Pangkat = x^2 + 2x - 15
Untuk x = 1 + sqrt(3):
(1 + sqrt(3))^2 + 2(1 + sqrt(3)) - 15 = (1 + 2*sqrt(3) + 3) + (2 + 2*sqrt(3)) - 15 = 4 + 2*sqrt(3) + 2 + 2*sqrt(3) - 15 = 6 + 4*sqrt(3) - 15 = -9 + 4*sqrt(3). Ini bukan bilangan bulat genap.

Untuk x = 1 - sqrt(3):
(1 - sqrt(3))^2 + 2(1 - sqrt(3)) - 15 = (1 - 2*sqrt(3) + 3) + (2 - 2*sqrt(3)) - 15 = 4 - 2*sqrt(3) + 2 - 2*sqrt(3) - 15 = 6 - 4*sqrt(3) - 15 = -9 - 4*sqrt(3). Ini bukan bilangan bulat genap.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { -5, 2, 4 }.