Seorang arsitek akan membuat kolam yang seperti gambar

Pertidaksamaan: 9 < x^2 + y^2 < 25. Luas: 16π m².

Pembahasan

Soal ini meminta dua hal: (A) menentukan pertidaksamaan yang menggambarkan daerah yang diarsir, dan (B) menentukan luas jalan yang akan dibuat.

Informasi yang diberikan:
- Ada kolam di tengah taman.
- Di tengah kolam ada air mancur.
- Jarak air mancur ke tepi kolam adalah 3 meter.
- Daerah yang diarsir adalah sekeliling kolam, yang akan dibuat jalan.
- Lebar jalan adalah 2 meter.
- Air mancur koordinat titik (0, 0).

Asumsi:
- Kolam berbentuk lingkaran, karena jarak air mancur ke tepi kolam konstan (3 meter).
- Jalan mengelilingi kolam.

(A) Menentukan pertidaksamaan yang menggambarkan daerah yang diarsir (jalan):

1. Air mancur berada di (0,0).
2. Jarak air mancur ke tepi kolam adalah 3 meter. Ini berarti jari-jari kolam (r_kolam) adalah 3 meter.
   Persamaan lingkaran untuk tepi kolam adalah x^2 + y^2 = r_kolam^2 = 3^2 = 9.

3. Daerah yang diarsir adalah jalan selebar 2 meter di sekeliling kolam.
   Ini berarti daerah jalan berada di luar lingkaran kolam.

4. Jarak air mancur ke tepi luar jalan:
   Jari-jari luar jalan (r_luar) = jari-jari kolam + lebar jalan
   r_luar = 3 meter + 2 meter = 5 meter.
   Persamaan lingkaran untuk tepi luar jalan adalah x^2 + y^2 = r_luar^2 = 5^2 = 25.

5. Daerah yang diarsir (jalan) adalah area di antara dua lingkaran konsentris ini.
   Secara matematis, ini adalah area di mana jarak dari pusat (air mancur) lebih besar dari jari-jari kolam tetapi lebih kecil dari jari-jari luar jalan.

   Jarak dari pusat (0,0) ke suatu titik (x,y) adalah sqrt(x^2 + y^2).
   Kondisi agar titik (x,y) berada di daerah jalan adalah:
   Jarak ke tepi kolam >= 0 (artinya di luar atau di tepi kolam)
   Jarak ke tepi luar jalan <= 0 (artinya di dalam atau di tepi luar jalan)

   Lebih tepatnya, daerah jalan adalah area di luar lingkaran kolam dan di dalam lingkaran terluar jalan.

   Jarak dari pusat (0,0) ke titik (x,y) harus lebih besar dari jari-jari kolam DAN lebih kecil dari jari-jari luar jalan.

   Jarak = sqrt(x^2 + y^2)

   Kondisi:  sqrt(x^2 + y^2) > 3  DAN  sqrt(x^2 + y^2) < 5

   Untuk menghilangkan akar kuadrat, kita kuadratkan semua bagian:
   (sqrt(x^2 + y^2))^2 > 3^2  DAN  (sqrt(x^2 + y^2))^2 < 5^2

   x^2 + y^2 > 9   DAN   x^2 + y^2 < 25

   Jadi, pertidaksamaan yang menggambarkan daerah yang diarsir adalah 9 < x^2 + y^2 < 25.

(B) Menentukan luas jalan yang akan dibuat:

Luas jalan adalah luas lingkaran luar dikurangi luas lingkaran dalam (kolam).

Luas lingkaran = pi * r^2

Luas kolam (Lingkaran dalam):
Luas_kolam = pi * r_kolam^2 = pi * (3 meter)^2 = 9pi meter^2.

Luas lingkaran luar (termasuk kolam dan jalan):
Luas_luar = pi * r_luar^2 = pi * (5 meter)^2 = 25pi meter^2.

Luas jalan = Luas_luar - Luas_kolam
Luas jalan = 25pi meter^2 - 9pi meter^2
Luas jalan = 16pi meter^2.

Jika kita menggunakan nilai pi ≈ 22/7:
Luas jalan = 16 * (22/7) = 352/7 ≈ 50.28 meter^2.

Jika kita menggunakan nilai pi ≈ 3.14:
Luas jalan = 16 * 3.14 = 50.24 meter^2.

Jawaban:

A. Pertidaksamaan yang menggambarkan daerah yang diarsir adalah 9 < x^2 + y^2 < 25.
B. Luas jalan yang akan dibuat adalah 16pi meter^2 (atau sekitar 50.24 - 50.28 meter^2).

Kita akan memberikan jawaban dalam bentuk simbolis pi kecuali diminta nilai numerik.