Seorang petani memerlukan paling sedikit 60 unit zat kimia

Rp495.000,00

Pembahasan

Untuk menentukan pengeluaran minimum petani, kita perlu menggunakan konsep program linear.

Misalkan:
Jumlah pupuk jenis I = x kantong
Jumlah pupuk jenis II = y kantong

Kebutuhan petani:
Zat kimia A minimal 60 unit
Zat kimia B minimal 54 unit

Komposisi pupuk:
Pupuk I: 4 unit A, 6 unit B
Pupuk II: 5 unit A, 3 unit B
Harga pupuk:
Pupuk I: Rp33.000,00
Pupuk II: Rp44.000,00

Model Matematika:
1. Kendala Kebutuhan Zat Kimia A:
   4x + 5y ≥ 60
2. Kendala Kebutuhan Zat Kimia B:
   6x + 3y ≥ 54  (Disederhanakan menjadi 2x + y ≥ 18)
3. Kendala Jumlah Pupuk (tidak negatif):
   x ≥ 0
   y ≥ 0
4. Fungsi Tujuan (meminimalkan pengeluaran):
   F(x, y) = 33000x + 44000y

Kita perlu mencari titik-titik pojok dari daerah penyelesaian yang memenuhi kendala tersebut dan substitusikan ke dalam fungsi tujuan.

Titik potong kendala:
*   4x + 5y = 60
*   2x + y = 18  => y = 18 - 2x

Substitusikan y ke persamaan pertama:
4x + 5(18 - 2x) = 60
4x + 90 - 10x = 60
-6x = 60 - 90
-6x = -30
x = 5

Substitusikan x = 5 ke y = 18 - 2x:
y = 18 - 2(5)
y = 18 - 10
y = 8

Jadi, titik potongnya adalah (5, 8).

Titik pojok lainnya adalah perpotongan garis kendala dengan sumbu x dan sumbu y:
*   Jika x = 0 pada 4x + 5y = 60 => 5y = 60 => y = 12. Titik (0, 12).
*   Jika y = 0 pada 4x + 5y = 60 => 4x = 60 => x = 15. Titik (15, 0).
*   Jika x = 0 pada 2x + y = 18 => y = 18. Titik (0, 18).
*   Jika y = 0 pada 2x + y = 18 => 2x = 18 => x = 9. Titik (9, 0).

Titik-titik pojok yang memenuhi kedua kendala adalah:
1. Titik potong (5, 8)
2. Titik pada sumbu y: Kendala 2x+y>=18 dan 4x+5y>=60. Titik (0, 18) memenuhi kedua kendala.
3. Titik pada sumbu x: Kendala 2x+y>=18 dan 4x+5y>=60. Titik (15, 0) memenuhi kedua kendala.

Evaluasi Fungsi Tujuan F(x, y) = 33000x + 44000y:
1. F(5, 8) = 33000(5) + 44000(8) = 165000 + 352000 = 517000
2. F(0, 18) = 33000(0) + 44000(18) = 0 + 792000 = 792000
3. F(15, 0) = 33000(15) + 44000(0) = 495000 + 0 = 495000

Nilai minimum pengeluaran adalah Rp495.000,00.

Jadi, pengeluaran minimum petani tersebut untuk membeli pupuk adalah Rp495.000,00.