Seorang siswa mengikuti 6 kali ujian dengan nilai 5 ujian

4 nilai

Pembahasan

Misalkan nilai 6 kali ujian adalah $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$. 
Nilai 5 ujian pertama adalah 6, 4, 8, 5, 7.
Jadi, $x_1=6, x_2=4, x_3=8, x_4=5, x_5=7$.
Nilai ujian dinyatakan dalam bilangan asli yang tidak lebih besar daripada 10. Ini berarti $x_i 	rong 	ext{{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}}$.

Mari kita urutkan nilai 5 ujian pertama: 4, 5, 6, 7, 8.

Jika nilai ujian terakhir ($x_6$) dimasukkan, maka akan ada 6 nilai. Rata-rata 6 kali ujian lebih kecil dari mediannya.

Kasus 1: $x_6$ lebih kecil atau sama dengan nilai terkecil (4).
Urutan nilai: $x_6, 4, 5, 6, 7, 8$. Mediannya adalah rata-rata dari nilai ke-3 dan ke-4, yaitu (5+6)/2 = 5,5.
Jumlah 5 nilai pertama = 4+5+6+7+8 = 30.
Jumlah 6 nilai = 30 + $x_6$.
Rata-rata = (30 + $x_6$)/6.
Syarat: (30 + $x_6$)/6 < 5,5
30 + $x_6$ < 33
$x_6$ < 3.
Karena $x_6$ adalah bilangan asli dan $x_6 
gtr 10$, maka $x_6$ bisa 1 atau 2. Dalam kasus ini, $x_6 
gtr 4$ terpenuhi.
Jadi, nilai $x_6$ yang mungkin adalah 1, 2. (2 nilai)

Kasus 2: $x_6$ berada di antara 4 dan 5 (yaitu $4 < x_6 
gtr 5$).
Urutan nilai: 4, $x_6$, 5, 6, 7, 8. Mediannya adalah (5+6)/2 = 5,5.
Jumlah 6 nilai = 30 + $x_6$.
Rata-rata = (30 + $x_6$)/6.
Syarat: (30 + $x_6$)/6 < 5,5
30 + $x_6$ < 33
$x_6$ < 3.
Ini kontradiksi dengan asumsi $4 < x_6 
gtr 5$. Jadi, tidak ada solusi di kasus ini.

Kasus 3: $x_6$ = 5.
Urutan nilai: 4, 5, 5, 6, 7, 8. Mediannya adalah (5+5)/2 = 5.
Rata-rata = (30+5)/6 = 35/6 = 5.833...
Syarat: 5.833... < 5. Ini salah.

Kasus 4: $x_6$ berada di antara 5 dan 6 (yaitu $5 < x_6 
gtr 6$).
Urutan nilai: 4, 5, $x_6$, 6, 7, 8. Mediannya adalah ($x_6$+6)/2.
Rata-rata = (30 + $x_6$)/6.
Syarat: (30 + $x_6$)/6 < ($x_6$+6)/2
Kalikan kedua sisi dengan 6:
30 + $x_6$ < 3($x_6$+6)
30 + $x_6$ < 3$x_6$ + 18
30 - 18 < 3$x_6$ - $x_6$
12 < 2$x_6$
6 < $x_6$.
Ini sesuai dengan asumsi $5 < x_6 
gtr 6$ jika $x_6=6$. Mari kita cek jika $x_6=6$. Jika $x_6=6$, urutannya 4, 5, 6, 6, 7, 8. Median = (6+6)/2 = 6. Rata-rata = (30+6)/6 = 36/6 = 6. Syarat rata-rata < median (6 < 6) adalah salah.

Kasus 5: $x_6$ = 6.
Urutan nilai: 4, 5, 6, 6, 7, 8. Median = (6+6)/2 = 6. Rata-rata = (4+5+6+7+8+6)/6 = 36/6 = 6. Syarat rata-rata < median (6 < 6) adalah salah.

Kasus 6: $x_6$ > 6.
Urutan nilai: 4, 5, 6, 7, 8, $x_6$. Mediannya adalah (6+7)/2 = 6,5.
Rata-rata = (30 + $x_6$)/6.
Syarat: (30 + $x_6$)/6 < 6,5
30 + $x_6$ < 39
$x_6$ < 9.
Jadi, jika $x_6 > 6$, maka $x_6$ bisa bernilai 7 atau 8. Nilai $x_6$ tidak boleh lebih dari 10. $x_6$ bisa 7 atau 8. (2 nilai)

Total nilai $x_6$ yang mungkin adalah dari Kasus 1 (1, 2) dan Kasus 6 (7, 8). Jadi, ada 2 + 2 = 4 nilai yang mungkin.

Mari kita periksa ulang.
Nilai ujian pertama: 4, 5, 6, 7, 8.

Jika $x_6=1$: 1, 4, 5, 6, 7, 8. Mean=(31)/6=5.166. Median=(5+6)/2=5.5. 5.166 < 5.5 (Benar).
Jika $x_6=2$: 2, 4, 5, 6, 7, 8. Mean=(32)/6=5.333. Median=(5+6)/2=5.5. 5.333 < 5.5 (Benar).
Jika $x_6=7$: 4, 5, 6, 7, 7, 8. Mean=(37)/6=6.166. Median=(6+7)/2=6.5. 6.166 < 6.5 (Benar).
Jika $x_6=8$: 4, 5, 6, 7, 8, 8. Mean=(38)/6=6.333. Median=(6+7)/2=6.5. 6.333 < 6.5 (Benar).
Jika $x_6=9$: 4, 5, 6, 7, 8, 9. Mean=(39)/6=6.5. Median=(6+7)/2=6.5. 6.5 < 6.5 (Salah).

Jadi, nilai ujian terakhir yang mungkin ada sebanyak 4.