Garis singgung lingkaran x^2+y^2=5 di titik (2,1)

Nilai $a^2$ adalah 9/5.

Pembahasan

Diketahui garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = 5$ di titik (2,1) menyinggung lingkaran $(x-3)^2 + (y-2)^2 = a^2$. Kita perlu mencari nilai $a^2$.

Langkah 1: Cari persamaan garis singgung lingkaran pertama.
Persamaan lingkaran pertama adalah $x^2 + y^2 = 5$. Titik singgungnya adalah (2,1).
Persamaan garis singgung lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$ di titik $(x_1, y_1)$ adalah $x x_1 + y y_1 = r^2$.
Maka, persamaan garis singgungnya adalah $2x + 1y = 5$, atau $2x + y - 5 = 0$.

Langkah 2: Gunakan konsep jarak titik ke garis.
Karena garis singgung tersebut menyinggung lingkaran kedua $(x-3)^2 + (y-2)^2 = a^2$, maka jarak dari pusat lingkaran kedua ke garis singgung tersebut sama dengan jari-jari lingkaran kedua, yaitu $a$.
Pusat lingkaran kedua adalah (3,2).
Rumus jarak dari titik $(x_0, y_0)$ ke garis $Ax + By + C = 0$ adalah $d = |Ax_0 + By_0 + C| / \sqrt{A^2 + B^2}$.
Dalam kasus ini, $(x_0, y_0) = (3,2)$ dan garisnya adalah $2x + y - 5 = 0$, sehingga $A=2$, $B=1$, $C=-5$.

Jarak $d = |2(3) + 1(2) - 5| / \sqrt{2^2 + 1^2}$
$d = |6 + 2 - 5| / \sqrt{4 + 1}$
$d = |3| / \sqrt{5}$
$d = 3 / \sqrt{5}$

Karena jarak ini sama dengan jari-jari $a$, maka $a = 3 / \sqrt{5}$.

Langkah 3: Cari nilai $a^2$.
$a^2 = (3 / \sqrt{5})^2$
$a^2 = 9 / 5$

Jadi, nilai $a^2$ adalah 9/5.