Seseorang dari perusahaaan asuransi menjual polis ke 5

80/243

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan konsep peluang binomial. Kita memiliki 5 orang yang serupa, dan setiap orang memiliki peluang 2/3 untuk hidup 30 tahun lagi. Kita ingin mencari peluang bahwa tepat 3 orang dari 5 orang tersebut yang masih hidup.

Rumus peluang binomial adalah:
P(X=k) = C(n, k) * (p^k) * ((1-p)^(n-k))
Dimana:
n = jumlah percobaan (jumlah orang) = 5
k = jumlah keberhasilan yang diinginkan (jumlah orang yang hidup) = 3
p = peluang keberhasilan dalam satu percobaan (peluang seseorang hidup) = 2/3
1-p = peluang kegagalan dalam satu percobaan (peluang seseorang tidak hidup) = 1 - 2/3 = 1/3
C(n, k) = koefisien binomial, yaitu jumlah kombinasi cara memilih k keberhasilan dari n percobaan, dihitung dengan C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!).

Langkah 1: Hitung koefisien binomial C(5, 3).
C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 5! / (3! * 2!) = (5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((3 * 2 * 1) * (2 * 1)) = (5 * 4) / (2 * 1) = 20 / 2 = 10.

Langkah 2: Hitung p^k.
p^k = (2/3)^3 = (2^3) / (3^3) = 8 / 27.

Langkah 3: Hitung (1-p)^(n-k).
(1-p)^(n-k) = (1/3)^(5-3) = (1/3)^2 = (1^2) / (3^2) = 1 / 9.

Langkah 4: Masukkan semua nilai ke dalam rumus peluang binomial.
P(X=3) = C(5, 3) * (p^3) * ((1-p)^2)
P(X=3) = 10 * (8/27) * (1/9)
P(X=3) = 10 * (8 / (27 * 9))
P(X=3) = 10 * (8 / 243)
P(X=3) = 80 / 243.

Jadi, peluang dalam 30 tahun hanya ada 3 orang yang masih hidup adalah 80/243.