Show that n^2(n-1) > 2n+1 for all natural numbers n>=3.

Ketaksamaan terbukti benar menggunakan induksi matematika untuk n >= 3.

Pembahasan

Kita akan membuktikan ketaksamaan n^2(n-1) > 2n+1 untuk semua bilangan asli n >= 3 menggunakan induksi matematika.

Basis Induksi:
Untuk n = 3:
Ruas kiri: 3^2(3-1) = 9(2) = 18
Ruas kanan: 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7
Karena 18 > 7, ketaksamaan berlaku untuk n = 3.

Langkah Induksi:
Asumsikan ketaksamaan berlaku untuk n = k, yaitu k^2(k-1) > 2k+1, di mana k >= 3.
Kita perlu membuktikan bahwa ketaksamaan berlaku untuk n = k+1, yaitu (k+1)^2(k+1-1) > 2(k+1)+1.

(k+1)^2(k) > 2(k+1)+1
(k^2 + 2k + 1)k > 2k + 2 + 1
k^3 + 2k^2 + k > 2k + 3

Sekarang, kita mulai dari ruas kiri ketaksamaan untuk n = k+1:
(k+1)^2((k+1)-1) = (k+1)^2 * k
= (k^2 + 2k + 1) * k
= k^3 + 2k^2 + k

Kita tahu dari hipotesis induksi bahwa k^2(k-1) > 2k+1, yang dapat ditulis sebagai k^3 - k^2 > 2k+1.

Mari kita manipulasi ruas kiri yang ingin kita buktikan:
k^3 + 2k^2 + k
Kita ingin menunjukkan bahwa ini lebih besar dari 2k+3.

Perhatikan:
k^3 + 2k^2 + k = (k^3 - k^2) + 3k^2 + k
Berdasarkan hipotesis induksi, k^3 - k^2 > 2k+1.
Jadi,
k^3 + 2k^2 + k > (2k+1) + 3k^2 + k
= 3k^2 + 3k + 1

Sekarang kita perlu menunjukkan bahwa 3k^2 + 3k + 1 > 2k + 3 untuk k >= 3.
3k^2 + 3k + 1 - (2k + 3) > 0
3k^2 + k - 2 > 0

Faktorkan kuadratik 3k^2 + k - 2:
(3k - 2)(k + 1)

Karena k >= 3:
(3k - 2) akan selalu positif (misalnya, jika k=3, 3(3)-2 = 7).
(k + 1) akan selalu positif.

Oleh karena itu, (3k - 2)(k + 1) > 0 untuk k >= 3.
Ini berarti 3k^2 + k - 2 > 0, yang mengimplikasikan 3k^2 + 3k + 1 > 2k + 3.

Karena k^3 + 2k^2 + k > 3k^2 + 3k + 1 dan 3k^2 + 3k + 1 > 2k + 3, maka dapat disimpulkan bahwa k^3 + 2k^2 + k > 2k + 3.

Ini membuktikan bahwa (k+1)^2(k) > 2(k+1)+1.

Kesimpulan:
Berdasarkan prinsip induksi matematika, ketaksamaan n^2(n-1) > 2n+1 berlaku untuk semua bilangan asli n >= 3.