sin(pi/4+theta)-sin(pi/4-theta) sama dengan .....

sqrt(2)sin(theta)

Pembahasan

Untuk menyederhanakan ekspresi sin(pi/4+theta)-sin(pi/4-theta), kita dapat menggunakan identitas penjumlahan dan pengurangan sinus: sin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB dan sin(A-B) = sinAcosB - cosAsinB.
Dengan A = pi/4 dan B = theta:
sin(pi/4+theta) = sin(pi/4)cos(theta) + cos(pi/4)sin(theta)
sin(pi/4-theta) = sin(pi/4)cos(theta) - cos(pi/4)sin(theta)
Kita tahu bahwa sin(pi/4) = cos(pi/4) = sqrt(2)/2.
Maka,
sin(pi/4+theta) = (sqrt(2)/2)cos(theta) + (sqrt(2)/2)sin(theta)
sin(pi/4-theta) = (sqrt(2)/2)cos(theta) - (sqrt(2)/2)sin(theta)
Sekarang, kita kurangkan keduanya:
sin(pi/4+theta)-sin(pi/4-theta) = [(sqrt(2)/2)cos(theta) + (sqrt(2)/2)sin(theta)] - [(sqrt(2)/2)cos(theta) - (sqrt(2)/2)sin(theta)]
= (sqrt(2)/2)cos(theta) + (sqrt(2)/2)sin(theta) - (sqrt(2)/2)cos(theta) + (sqrt(2)/2)sin(theta)
= (sqrt(2)/2)sin(theta) + (sqrt(2)/2)sin(theta)
= 2 * (sqrt(2)/2)sin(theta)
= sqrt(2)sin(theta)
Alternatif lain adalah menggunakan identitas jumlah-ke-produk: sin X - sin Y = 2 cos((X+Y)/2) sin((X-Y)/2).
Misalkan X = pi/4 + theta dan Y = pi/4 - theta.
Maka (X+Y)/2 = ((pi/4 + theta) + (pi/4 - theta))/2 = (pi/2)/2 = pi/4.
Dan (X-Y)/2 = ((pi/4 + theta) - (pi/4 - theta))/2 = (2*theta)/2 = theta.
Jadi, sin(pi/4+theta)-sin(pi/4-theta) = 2 cos(pi/4) sin(theta).
Karena cos(pi/4) = sqrt(2)/2, maka:
2 * (sqrt(2)/2) sin(theta) = sqrt(2)sin(theta).