(sin(theta)+sin(3theta))/(cos(theta)-cos(3theta)) sama

cot(theta)

Pembahasan

Untuk menyederhanakan ekspresi (sin(theta)+sin(3theta))/(cos(theta)-cos(3theta)), kita dapat menggunakan rumus jumlah dan selisih sinus dan kosinus.

Rumus yang relevan adalah:
sin A + sin B = 2 sin((A+B)/2) cos((A-B)/2)
cos A - cos B = -2 sin((A+B)/2) sin((A-B)/2)

Misalkan A = theta dan B = 3*theta.
Maka:

Pembilang: sin(theta) + sin(3*theta) = 2 sin((theta+3*theta)/2) cos((theta-3*theta)/2)
= 2 sin(2*theta) cos(-theta)
Karena cos(-x) = cos(x), maka:
= 2 sin(2*theta) cos(theta)

Penyebut: cos(theta) - cos(3*theta) = -2 sin((theta+3*theta)/2) sin((theta-3*theta)/2)
= -2 sin(2*theta) sin(-theta)
Karena sin(-x) = -sin(x), maka:
= -2 sin(2*theta) (-sin(theta))
= 2 sin(2*theta) sin(theta)

Sekarang kita substitusikan kembali ke dalam ekspresi awal:
(sin(theta)+sin(3theta))/(cos(theta)-cos(3theta)) = (2 sin(2*theta) cos(theta)) / (2 sin(2*theta) sin(theta))

Kita bisa membatalkan 2 sin(2*theta) dari pembilang dan penyebut (dengan asumsi sin(2*theta) tidak sama dengan 0).
= cos(theta) / sin(theta)

Bentuk sederhana dari cos(theta) / sin(theta) adalah cotangen(theta).

Jadi, (sin(theta)+sin(3theta))/(cos(theta)-cos(3theta)) sama dengan cot(theta).