Sin x=0,4 dan tan y=-2,0 . x dan y di kuadran II cos

$\frac{\sqrt{105} + 4\sqrt{5}}{25}$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari nilai cos x, sin y, dan cos y terlebih dahulu berdasarkan informasi yang diberikan.

Diketahui sin x = 0,4 dan x di kuadran II. Di kuadran II, nilai sin positif dan cos negatif.
Kita gunakan identitas $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$
$\cos^2 x = 1 - (0,4)^2$
$\cos^2 x = 1 - 0,16$
$\cos^2 x = 0,84$
$\cos x = -\sqrt{0,84}$ (karena x di kuadran II)
$\cos x = -\sqrt{4 \times 0,21}$
$\cos x = -2\sqrt{0,21}$

Diketahui tan y = -2,0 dan y di kuadran II. Di kuadran II, nilai tan negatif.
Kita bisa membuat segitiga siku-siku dengan sisi depan = 2 dan sisi samping = 1, sehingga sisi miringnya adalah $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$.
Karena y di kuadran II, maka sin y positif dan cos y negatif.
$\sin y = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$
$\cos y = \frac{-1}{\sqrt{5}} = \frac{-\sqrt{5}}{5}$

Sekarang kita hitung cos(x-y) menggunakan rumus:
$\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$
$\cos(x-y) = (-2\sqrt{0,21}) \times (\frac{-\sqrt{5}}{5}) + (0,4) \times (\frac{2\sqrt{5}}{5})$
$\cos(x-y) = \frac{2\sqrt{0,21 \times 5}}{5} + \frac{0,8\sqrt{5}}{5}$
$\cos(x-y) = \frac{2\sqrt{1,05}}{5} + \frac{0,8\sqrt{5}}{5}$
$\cos(x-y) = \frac{2\sqrt{1,05} + 0,8\sqrt{5}}{5}$

Mari kita sederhanakan $\sqrt{0,21} = \sqrt{\frac{21}{100}} = \frac{\sqrt{21}}{10}$.
Jadi, $\cos x = -2 \times \frac{\sqrt{21}}{10} = -\frac{\sqrt{21}}{5}$.

Menggunakan nilai cos x yang disederhanakan:
$\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$
$\cos(x-y) = (-\frac{\sqrt{21}}{5}) \times (\frac{-\sqrt{5}}{5}) + (0,4) \times (\frac{2\sqrt{5}}{5})$
$\cos(x-y) = \frac{\sqrt{105}}{25} + \frac{0,8\sqrt{5}}{5}$
$\cos(x-y) = \frac{\sqrt{105}}{25} + \frac{4\sqrt{5}}{25}$
$\cos(x-y) = \frac{\sqrt{105} + 4\sqrt{5}}{25}$