Solusi pertidaksamaan (x-2)(x^2+x-6) / x^2+x-2 adalah ....

[-3, -2) U (1, 2]

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan (x-2)(x^2+x-6) / (x^2+x-2) ≤ 0, kita perlu mencari akar-akar dari pembilang dan penyebutnya terlebih dahulu.

Pembilang: (x-2)(x^2+x-6)
Faktorkan x^2+x-6: (x+3)(x-2)
Jadi, pembilang menjadi: (x-2)(x+3)(x-2) = (x-2)²(x+3)
Akar-akar pembilang adalah x = 2 (kembar) dan x = -3.

Penyebut: x^2+x-2
Faktorkan penyebut: (x+2)(x-1)
Akar-akar penyebut adalah x = -2 dan x = 1. Penyebut tidak boleh nol, jadi x ≠ -2 dan x ≠ 1.

Pertidaksamaan menjadi: (x-2)²(x+3) / ((x+2)(x-1)) ≤ 0

Kita gunakan garis bilangan dengan titik-titik kritis -3, -2, 1, dan 2.
Perhatikan tanda dari setiap faktor pada interval yang berbeda:

| Interval      | (x-2)² | (x+3) | (x+2) | (x-1) | Hasil      |
|---------------|--------|-------|-------|-------|------------|
| x < -3        | +      | -     | -     | -     | +          |
| -3 < x < -2   | +      | +     | -     | -     | -          |
| -2 < x < 1    | +      | +     | +     | -     | -          |
| 1 < x < 2     | +      | +     | +     | +     | +          |
| x > 2         | +      | +     | +     | +     | +          |

Kita mencari hasil yang ≤ 0.
Dari tabel, hasil negatif terdapat pada interval -3 < x < -2 dan -2 < x < 1.
Karena pertidaksamaan ≤ 0, kita perlu memasukkan nilai x = -3 (karena pembilang menjadi nol).
Nilai x = 2 juga membuat pembilang nol, sehingga termasuk dalam solusi, namun karena ada faktor (x-2)² yang selalu positif (kecuali di x=2), kita perlu hati-hati. Ketika x=2, kedua sisi dari x=2 masih menghasilkan nilai positif.

Mari kita periksa titik-titik kritis:
- x = -3: (0)²(0) / ((-1)(-4)) = 0/4 = 0. Jadi x = -3 memenuhi.
- x = -2: Penyebut nol, tidak terdefinisi.
- x = 1: Penyebut nol, tidak terdefinisi.
- x = 2: (0)²(5) / ((4)(1)) = 0/4 = 0. Jadi x = 2 memenuhi.

Pertimbangkan kembali tanda di sekitar x=2. Karena (x-2)² selalu positif untuk x ≠ 2, tanda di sekitar x=2 tidak berubah.

Hasil pertidaksamaan adalah interval di mana hasilnya negatif atau nol.

Solusi: [-3, -2) U (1, 2].
Perbaikan: Perhatikan bahwa x=2 membuat pembilang menjadi nol, sehingga harus disertakan dalam solusi jika pertidaksamaan adalah "kurang dari atau sama dengan nol".

Dengan mempertimbangkan kembali tanda:
Untuk -3 < x < -2, hasilnya negatif.
Untuk -2 < x < 1, hasilnya negatif.
Untuk x = -3, hasilnya 0.
Untuk x = 2, hasilnya 0.

Jadi solusi yang memenuhi adalah: x ∈ [-3, -2) U (1, 2].