Solve the following equation for theta, giving the root in

36.9°, 143.1°, 199.5°, 340.5°

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan 10 sin^2 theta - 5 cos^2 theta + 2 = 4 sin theta pada interval 0 < theta <= 360, kita perlu mengubah persamaan tersebut agar hanya memiliki satu fungsi trigonometri, yaitu sin theta. Kita bisa menggunakan identitas trigonometri dasar: cos^2 theta = 1 - sin^2 theta.

Substitusikan identitas ini ke dalam persamaan:
10 sin^2 theta - 5 (1 - sin^2 theta) + 2 = 4 sin theta

Sekarang, distribusikan -5:
10 sin^2 theta - 5 + 5 sin^2 theta + 2 = 4 sin theta

Gabungkan suku-suku sejenis:
15 sin^2 theta - 3 = 4 sin theta

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat:
15 sin^2 theta - 4 sin theta - 3 = 0

Misalkan y = sin theta. Maka persamaan menjadi:
15y^2 - 4y - 3 = 0

Kita bisa menggunakan rumus kuadrat untuk menyelesaikan y:
y = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
Di sini, a = 15, b = -4, dan c = -3.

y = [ -(-4) ± sqrt((-4)^2 - 4 * 15 * (-3)) ] / (2 * 15)
y = [ 4 ± sqrt(16 + 180) ] / 30
y = [ 4 ± sqrt(196) ] / 30
y = [ 4 ± 14 ] / 30

Ada dua kemungkinan nilai untuk y:
y1 = (4 + 14) / 30 = 18 / 30 = 0.6
y2 = (4 - 14) / 30 = -10 / 30 = -1/3 ≈ -0.333

Karena y = sin theta, kita punya dua kasus:
Kasus 1: sin theta = 0.6
Untuk mencari theta, kita gunakan fungsi arcsin (sin^-1).
Dalam interval 0 < theta <= 360, ada dua sudut yang memiliki nilai sin positif: di kuadran I dan kuadran II.

Kuadran I: theta1 = arcsin(0.6)
theta1 ≈ 36.87 derajat

Kuadran II: theta2 = 180 - theta1
theta2 ≈ 180 - 36.87 = 143.13 derajat

Kasus 2: sin theta = -1/3 ≈ -0.333
Dalam interval 0 < theta <= 360, ada dua sudut yang memiliki nilai sin negatif: di kuadran III dan kuadran IV.

Untuk mencari sudut referensi (alpha), kita gunakan arcsin dari nilai absolutnya: alpha = arcsin(1/3) ≈ 19.47 derajat.

Kuadran III: theta3 = 180 + alpha
theta3 ≈ 180 + 19.47 = 199.47 derajat

Kuadran IV: theta4 = 360 - alpha
theta4 ≈ 360 - 19.47 = 340.53 derajat

Jadi, nilai-nilai theta dalam interval 0 < theta <= 360 yang memenuhi persamaan, dibulatkan ke 0.1 terdekat, adalah:
36.9 derajat, 143.1 derajat, 199.5 derajat, dan 340.5 derajat.