Perhatikan gambar di bawah ini. A B C D E F G H 14 cm 10 cm

Luas daerah yang diarsir adalah 704/3 cm².

Pembahasan

Untuk menghitung luas daerah yang diarsir, kita perlu mencari luas trapesium luar dan luas trapesium bagian dalam, lalu mengurangkannya.

Diketahui trapesium bagian luar memiliki sisi sejajar 10 cm dan 30 cm, serta tinggi 15 cm.
Luas trapesium luar = 1/2 * (jumlah sisi sejajar) * tinggi
Luas trapesium luar = 1/2 * (10 + 30) * 15
Luas trapesium luar = 1/2 * 40 * 15
Luas trapesium luar = 20 * 15 = 300 cm²

Diketahui trapesium bagian dalam sebangun dengan trapesium bagian luar. Perhatikan bahwa kedua trapesium memiliki sisi-sisi sejajar yang berpusat pada satu titik (atau garis simetri vertikal). Trapesium bagian dalam memiliki sisi sejajar yang lebih pendek (14 cm) dan sisi sejajar yang lebih panjang (tidak diketahui secara langsung dari deskripsi, tapi dari gambar terlihat bahwa sisi 10 cm dan 30 cm adalah sisi luar, dan 14 cm adalah sisi dalam yang lebih pendek). Jika trapesium sama kaki, maka kedua sisi miringnya sama panjang.

Karena kedua trapesium sebangun, rasio antara sisi-sisi yang bersesuaian adalah konstan. Kita perlu menentukan dimensi trapesium bagian dalam yang lain. Perhatikan bahwa perbedaan panjang sisi sejajar pada trapesium luar adalah 30 cm - 10 cm = 20 cm. Jika kita asumsikan titik puncak proyeksi sisi sejajar berada pada garis tinggi yang sama, maka perbandingan sisi sejajar dalam trapesium bagian dalam terhadap trapesium luar dapat dihitung.

Dari gambar, terlihat bahwa trapesium bagian luar memiliki tinggi 15 cm. Sisi sejajar adalah 10 cm dan 30 cm. Trapesium bagian dalam memiliki sisi sejajar yang lebih pendek 14 cm. Karena sebangun, maka perbandingan sisi sejajar yang pendek adalah 14/10 atau 14/30. Jika kita mengasumsikan bahwa perbandingan skala berlaku untuk semua dimensi, kita perlu cara untuk menentukan tinggi trapesium dalam atau sisi sejajar yang lebih panjang dari trapesium dalam.

Namun, jika kita menginterpretasikan gambar dan informasi 'trapesium sama kaki bagian dalam sebangun dengan trapesium bagian luar' bahwa perbandingan antara sisi sejajar yang pendek dan sisi sejajar yang panjang adalah sama untuk kedua trapesium, dan perbandingan tersebut diterapkan pada sisi yang bersesuaian.

Mari kita periksa informasi yang diberikan. Trapesium luar memiliki sisi sejajar 10 cm dan 30 cm. Trapesium dalam memiliki sisi sejajar terpendek 14 cm. Jika kita menganggap bahwa perbandingan skala diterapkan pada sisi sejajar yang pendek, maka:
Skala = Sisi sejajar dalam / Sisi sejajar luar = 14 cm / 10 cm = 1.4 (Ini jika 14 cm adalah sisi yang bersesuaian dengan 10 cm).

Atau, jika 14 cm adalah sisi yang bersesuaian dengan 30 cm, maka skala = 14/30.

Mari kita asumsikan bahwa perbandingan skala trapesium dalam terhadap trapesium luar adalah rasio sisi sejajar yang pendek:
Skala = 14 cm / 10 cm = 1.4 (Ini tidak mungkin karena trapesium dalam harus lebih kecil).

Asumsi yang lebih logis adalah bahwa trapesium dalam memiliki sisi sejajar yang bersesuaian. Jika 14 cm adalah sisi sejajar yang lebih pendek dari trapesium dalam, dan kita bandingkan dengan sisi sejajar yang lebih pendek dari trapesium luar (10 cm), maka:
Skala = 14 cm / 10 cm = 1.4. Ini menunjukkan trapesium dalam lebih besar, yang bertentangan dengan konsep 'bagian dalam'.

Kemungkinan lain adalah bahwa 14 cm adalah sisi sejajar yang lebih panjang dari trapesium dalam, dan kita perlu mencari sisi yang lebih pendek.

Mari kita baca ulang: "trapesium sama kaki bagian dalam sebangun dengan trapesium bagian luar". Ini berarti rasio sisi-sisi yang bersesuaian adalah sama, dan sudut-sudutnya sama.

Perhatikan gambar: Trapesium luar memiliki sisi sejajar 10 cm (atas) dan 30 cm (bawah). Tingginya 15 cm. Trapesium bagian dalam memiliki sisi sejajar yang lebih pendek 14 cm. Dari kesebangunan, kita dapat menentukan sisi sejajar yang lebih panjang dari trapesium dalam dan tingginya.

Misalkan trapesium dalam memiliki sisi sejajar a' dan b' (dengan a' < b'), dan tinggi h'. Trapesium luar memiliki sisi sejajar a = 10 cm dan b = 30 cm, tinggi H = 15 cm.
Karena sebangun, maka:
a'/a = b'/b = h'/H

Kita tidak tahu a' atau b' secara pasti mana yang bersesuaian dengan 10 cm atau 30 cm, tetapi dari gambar, sisi 14 cm pada trapesium dalam terlihat lebih pendek dari sisi 10 cm pada trapesium luar, yang tidak masuk akal jika 'dalam' berarti lebih kecil secara proporsional dari pusat. Namun, jika 'dalam' berarti trapesium yang lebih kecil di dalam trapesium luar, maka sisi-sisi trapesium dalam harus lebih kecil.

Mari kita asumsikan bahwa 14 cm adalah sisi sejajar yang lebih pendek dari trapesium dalam, dan kita perlu mencari sisi sejajar yang lebih panjang (b') dan tingginya (h').

Kita perlu informasi tambahan atau interpretasi dari gambar. Namun, jika kita menganggap 14 cm adalah sisi sejajar terpendek dari trapesium dalam, dan kita bandingkan dengan sisi sejajar terpendek dari trapesium luar (10 cm), maka rasio skala adalah 14/10 = 1.4. Ini akan membuat trapesium dalam lebih besar. Ini tidak konsisten.

Kemungkinan lain: 14 cm adalah salah satu sisi sejajar dari trapesium dalam. Jika kita menganggap bahwa sisi sejajar yang lebih pendek dari trapesium luar adalah 10 cm dan sisi sejajar yang lebih panjang adalah 30 cm, dan trapesium dalam memiliki sisi sejajar 14 cm. Jika 14 cm ini bersesuaian dengan 10 cm, maka skala = 14/10 = 1.4. Jika 14 cm ini bersesuaian dengan 30 cm, maka skala = 14/30.

Mari kita perhatikan lagi gambar dan deskripsi 'trapesium sama kaki bagian dalam sebangun dengan trapesium bagian luar'. Biasanya, jika ada trapesium bagian dalam, ia lebih kecil. Jika 10 cm adalah sisi atas dan 30 cm sisi bawah trapesium luar, dan 14 cm adalah sisi atas trapesium dalam, maka:
Skala = 14 cm / 10 cm = 1.4. Ini berarti trapesium dalam lebih besar.

Jika 14 cm adalah sisi bawah trapesium dalam, dan sisi atasnya lebih pendek, maka:
Skala = 14 cm / 30 cm = 14/30.

Dengan skala 14/30, maka sisi atas trapesium dalam adalah:
Sisi atas dalam = Skala * Sisi atas luar = (14/30) * 10 cm = 140/30 = 14/3 cm.
Tinggi trapesium dalam adalah:
Tinggi dalam = Skala * Tinggi luar = (14/30) * 15 cm = 210/30 = 7 cm.

Luas trapesium dalam = 1/2 * (jumlah sisi sejajar) * tinggi
Luas trapesium dalam = 1/2 * (14/3 + 14) * 7
Luas trapesium dalam = 1/2 * (14/3 + 42/3) * 7
Luas trapesium dalam = 1/2 * (56/3) * 7
Luas trapesium dalam = (28/3) * 7 = 196/3 cm².

Luas daerah yang diarsir = Luas trapesium luar - Luas trapesium dalam
Luas daerah yang diarsir = 300 cm² - 196/3 cm²
Luas daerah yang diarsir = (900 - 196) / 3 cm²
Luas daerah yang diarsir = 704/3 cm².


Alternatif lain: Jika 14 cm adalah sisi atas trapesium dalam, dan kita bandingkan dengan sisi atas trapesium luar (10 cm), ini menyiratkan trapesium dalam lebih besar jika skala 14/10. Ini tidak masuk akal.

Jika kita menganggap bahwa sisi 14 cm pada trapesium dalam adalah sisi yang bersesuaian dengan sisi 30 cm pada trapesium luar, maka skala = 14/30. Maka sisi sejajar yang lain dari trapesium dalam (yang bersesuaian dengan 10 cm) adalah:
Sisi sejajar dalam (pendek) = (14/30) * 10 cm = 14/3 cm.
Tinggi trapesium dalam = (14/30) * 15 cm = 7 cm.
Luas trapesium dalam = 1/2 * (14/3 + 14) * 7 = 196/3 cm².
Luas diarsir = 300 - 196/3 = 704/3 cm².

Jika kita menganggap bahwa sisi 14 cm pada trapesium dalam adalah sisi yang bersesuaian dengan sisi 10 cm pada trapesium luar, maka skala = 14/10 = 1.4. Maka sisi sejajar yang lain dari trapesium dalam (yang bersesuaian dengan 30 cm) adalah:
Sisi sejajar dalam (panjang) = 1.4 * 30 cm = 42 cm.
Tinggi trapesium dalam = 1.4 * 15 cm = 21 cm.
Ini jelas salah karena trapesium dalam harus lebih kecil.

Kemungkinan interpretasi soal yang lain: Trapesium luar memiliki sisi sejajar 10 cm dan 30 cm, tinggi 15 cm. Trapesium dalam memiliki sisi sejajar 14 cm. Jika trapesium bagian dalam sebangun, maka rasio sisi sejajar yang pendek terhadap sisi sejajar yang panjang adalah sama.
Pada trapesium luar: 10/30 = 1/3.
Misalkan trapesium dalam memiliki sisi sejajar yang lebih pendek x dan sisi sejajar yang lebih panjang y. Maka x/y = 1/3, atau y = 3x.
Jika sisi 14 cm adalah sisi yang lebih pendek dari trapesium dalam (x=14), maka sisi yang lebih panjang adalah y = 3*14 = 42 cm.
Tinggi trapesium dalam (h') dapat dicari dengan kesebangunan.
Perhatikan perbedaan sisi sejajar dan tinggi. Pada trapesium luar, perbandingan antara separuh perbedaan sisi sejajar ( (30-10)/2 = 10 cm ) dengan tinggi (15 cm) adalah 10/15 = 2/3.
Pada trapesium dalam, separuh perbedaan sisi sejajar adalah (y-x)/2 = (42-14)/2 = 28/2 = 14 cm.
Maka, h'/14 = 15/10 = 3/2.
h' = 14 * (3/2) = 21 cm.
Ini juga tidak masuk akal karena tinggi trapesium dalam (21 cm) lebih besar dari trapesium luar (15 cm).

Mari kembali ke interpretasi pertama di mana 14 cm adalah sisi sejajar yang lebih pendek dari trapesium dalam, dan kita bandingkan dengan sisi sejajar yang lebih pendek dari trapesium luar (10 cm) untuk mendapatkan skala. Ini mungkin maksud soalnya adalah ada bagian yang diarsir di antara dua trapesium sebangun, dan salah satu sisinya diketahui.

Jika 14 cm adalah sisi sejajar yang bersesuaian dengan 10 cm pada trapesium luar, dan trapesium dalam lebih kecil:
Skala = Sisi dalam / Sisi luar = 14 cm / X = Y / 10 cm.
Ini tidak membantu.

Kemungkinan lain: Trapesium luar (A, B, C, D) sebangun dengan trapesium dalam (E, F, G, H). Sisi sejajar luar 10 dan 30, tinggi 15. Trapesium dalam memiliki sisi sejajar 14. Jika 14 adalah sisi yang bersesuaian dengan 10, maka skala = 14/10 = 1.4 (tidak mungkin). Jika 14 adalah sisi yang bersesuaian dengan 30, maka skala = 14/30. Maka sisi yang bersesuaian dengan 10 adalah (14/30)*10 = 14/3. Tinggi trapesium dalam = (14/30)*15 = 7.
Luas luar = 300.
Luas dalam = 1/2 * (14/3 + 14) * 7 = 1/2 * (56/3) * 7 = 196/3.
Luas arsir = 300 - 196/3 = 704/3.

Mari kita pertimbangkan kasus jika 14 cm adalah sisi sejajar yang lebih panjang dari trapesium dalam, dan bersesuaian dengan 30 cm. Maka skala = 14/30. Sisi sejajar yang lebih pendek dari trapesium dalam (bersesuaian dengan 10 cm) adalah (14/30)*10 = 14/3 cm. Tinggi trapesium dalam = (14/30)*15 = 7 cm.
Luas trapesium dalam = 1/2 * (14/3 + 14) * 7 = 196/3 cm².
Luas diarsir = 300 - 196/3 = 704/3 cm².

Bagaimana jika 14 cm adalah sisi sejajar yang lebih pendek dari trapesium dalam, dan bersesuaian dengan 10 cm. Maka skala = 14/10 = 1.4. Ini berarti trapesium dalam lebih besar. Ini salah.

Jika kita anggap 14 cm adalah sisi yang bersesuaian dengan 10 cm dari trapesium luar, dan trapesium dalam lebih kecil. Ini berarti skala harus kurang dari 1. Jika sisi sejajar yang pendek dari trapesium dalam adalah 14 cm, maka ia harus bersesuaian dengan 10 cm, yang berarti skala = 14/10 = 1.4. Ini tidak masuk akal.

Mari kita ambil asumsi bahwa 14 cm adalah salah satu sisi sejajar trapesium dalam, dan kesebangunan berlaku.
Jika trapesium dalam memiliki sisi sejajar atas 'a' dan bawah 'b', dan tinggi 'h'. Trapesium luar memiliki sisi sejajar atas 10 dan bawah 30, tinggi 15.
Perbandingan sisi sejajar atas terhadap bawah pada trapesium luar adalah 10/30 = 1/3.
Karena sebangun, maka a/b = 1/3, atau b = 3a.

Kasus 1: 14 cm adalah sisi atas trapesium dalam (a=14).
Maka sisi bawah trapesium dalam adalah b = 3*14 = 42 cm.
Untuk mencari tinggi trapesium dalam (h), kita gunakan kesebangunan sisi miring atau perbedaan sisi sejajar.
Perbedaan sisi sejajar luar = 30 - 10 = 20. Separuh perbedaan = 10.
Perbedaan sisi sejajar dalam = 42 - 14 = 28. Separuh perbedaan = 14.
Dari kesebangunan, perbandingan separuh perbedaan sisi sejajar terhadap tinggi adalah sama:
(Separuh perbedaan sisi luar) / (Tinggi luar) = (Separuh perbedaan sisi dalam) / (Tinggi dalam)
10 / 15 = 14 / h
h = (14 * 15) / 10 = 14 * 1.5 = 21 cm.
Ini berarti trapesium dalam lebih besar dari luar, yang salah.

Kasus 2: 14 cm adalah sisi bawah trapesium dalam (b=14).
Maka sisi atas trapesium dalam adalah a = b/3 = 14/3 cm.
Perbedaan sisi sejajar dalam = 14 - 14/3 = (42-14)/3 = 28/3. Separuh perbedaan = 14/3.
Dari kesebangunan:
10 / 15 = (14/3) / h
h = (14/3 * 15) / 10 = (14 * 5) / 10 = 70 / 10 = 7 cm.
Ini masuk akal karena tinggi trapesium dalam (7 cm) lebih kecil dari trapesium luar (15 cm).

Maka, luas trapesium dalam adalah:
Luas dalam = 1/2 * (jumlah sisi sejajar) * tinggi
Luas dalam = 1/2 * (14/3 + 14) * 7
Luas dalam = 1/2 * (14/3 + 42/3) * 7
Luas dalam = 1/2 * (56/3) * 7
Luas dalam = (28/3) * 7 = 196/3 cm².

Luas daerah yang diarsir = Luas trapesium luar - Luas trapesium dalam
Luas daerah yang diarsir = 300 cm² - 196/3 cm²
Luas daerah yang diarsir = (900 - 196) / 3 cm²
Luas daerah yang diarsir = 704/3 cm².