Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya total

Rp391.000,00

Pembahasan

Untuk menghitung keuntungan maksimum, kita perlu menentukan fungsi keuntungan terlebih dahulu. Keuntungan adalah selisih antara total pendapatan dan total biaya.

Biaya total (C) diberikan oleh \(C(x) = 9.000 + 1.000x + 10x^2\).
Harga jual per produk adalah Rp5.000,00. Jadi, total pendapatan (R) dari penjualan x produk adalah \(R(x) = 5.000x\).

Fungsi keuntungan (P) adalah \(P(x) = R(x) - C(x)\).
\(P(x) = 5.000x - (9.000 + 1.000x + 10x^2)\)
\(P(x) = 5.000x - 9.000 - 1.000x - 10x^2\)
\(P(x) = -10x^2 + 4.000x - 9.000\)

Untuk mencari keuntungan maksimum, kita perlu mencari nilai x yang membuat turunan pertama dari fungsi keuntungan sama dengan nol.
\(P'(x) = d/dx (-10x^2 + 4.000x - 9.000)\)
\(P'(x) = -20x + 4.000\)

Atur \(P'(x) = 0\) untuk mencari nilai x:
\(-20x + 4.000 = 0\)
\(4.000 = 20x\)
\(x = 4.000 / 20\)
\(x = 200\)

Jadi, jumlah produk yang harus dihasilkan untuk mencapai keuntungan maksimum adalah 200 unit.

Sekarang, hitung keuntungan maksimum dengan mensubstitusikan \(x = 200\) ke dalam fungsi keuntungan \(P(x)\):
\(P(200) = -10(200)^2 + 4.000(200) - 9.000\)
\(P(200) = -10(40.000) + 800.000 - 9.000\)
\(P(200) = -400.000 + 800.000 - 9.000\)
\(P(200) = 400.000 - 9.000\)
\(P(200) = 391.000\)

Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh perusahaan tersebut adalah Rp391.000,00.