Diketahui kubus ABCD .EFGH dengan panjang rusuk 4 cm .

Panjang PQ adalah 2*sqrt(6) / 3 cm.

Pembahasan

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik P adalah titik potong diagonal ABCD. Titik Q adalah proyeksi B pada PF.

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan konsep geometri ruang dan vektor.

1. Tentukan koordinat titik-titik:
Misalkan A = (0,0,0), B = (4,0,0), C = (4,4,0), D = (0,4,0), E = (0,0,4), F = (4,0,4), G = (4,4,4), H = (0,4,4).
Titik P adalah titik potong diagonal ABCD, sehingga P adalah titik tengah AC. P = ((0+4)/2, (0+4)/2, (0+0)/2) = (2,2,0).

2. Tentukan vektor PF:
Vektor PF = F - P = (4,0,4) - (2,2,0) = (2,-2,4).

3. Tentukan vektor PB:
Vektor PB = B - P = (4,0,0) - (2,2,0) = (2,-2,0).

4. Proyeksi B pada PF (titik Q) dapat dihitung menggunakan rumus proyeksi vektor.
Namun, Q adalah proyeksi B pada PF, yang berarti vektor PQ adalah proyeksi vektor PB pada vektor PF.

Panjang PQ = |proj_PF PB| = |(PB . PF) / |PF|^2| * |PF| = |PB . PF| / |PF|.

Hitung PB . PF:
PB . PF = (2)(2) + (-2)(-2) + (0)(4) = 4 + 4 + 0 = 8.

Hitung |PF|^2:
|PF|^2 = 2^2 + (-2)^2 + 4^2 = 4 + 4 + 16 = 24.

Hitung |PF|:
|PF| = sqrt(24) = 2*sqrt(6).

Hitung panjang PQ:
PQ = |8| / (2*sqrt(6)) = 8 / (2*sqrt(6)) = 4 / sqrt(6) = 4*sqrt(6) / 6 = 2*sqrt(6) / 3.

Jadi, panjang PQ adalah 2*sqrt(6) / 3 cm.