Suatu proyek akan diselesaikan dalam x hari dengan biaya

Total biaya proyek minimum adalah $(2000 - 400\sqrt{5})$ ribu rupiah.

Pembahasan

Biaya proyek per hari dinyatakan dalam $(2x + \frac{1000}{x} - 40)$ ribu rupiah, di mana $x$ adalah jumlah hari proyek.
Untuk mencari total biaya proyek minimum, kita perlu meminimalkan biaya harian terlebih dahulu, lalu mengalikannya dengan jumlah hari ($x$).
Misalkan $B(x) = 2x + \frac{1000}{x} - 40$ adalah biaya harian.
Untuk mencari nilai minimum, kita gunakan turunan pertama $B'(x)$ dan menyamakannya dengan 0.
$B'(x) = \frac{d}{dx}(2x + 1000x^{-1} - 40)$
$B'(x) = 2 - 1000x^{-2}$
$B'(x) = 2 - \frac{1000}{x^2}$

Samakan $B'(x)$ dengan 0:
$2 - \frac{1000}{x^2} = 0$
$2 = \frac{1000}{x^2}$
$2x^2 = 1000$
$x^2 = 500$
$x = \sqrt{500} = \sqrt{100 \times 5} = 10\sqrt{5}$

Sekarang, kita perlu memastikan ini adalah minimum dengan menggunakan turunan kedua $B''(x)$.
$B''(x) = \frac{d}{dx}(2 - 1000x^{-2})$
$B''(x) = -1000(-2)x^{-3}$
$B''(x) = \frac{2000}{x^3}$
Karena $x = 10\sqrt{5}$ positif, $B''(10\sqrt{5})$ akan positif, yang menunjukkan nilai minimum.

Biaya harian minimum terjadi saat $x = 10\sqrt{5}$ hari.
Biaya harian minimum = $B(10\sqrt{5}) = 2(10\sqrt{5}) + \frac{1000}{10\sqrt{5}} - 40$
$= 20\sqrt{5} + \frac{100}{\sqrt{5}} - 40$
$= 20\sqrt{5} + \frac{100\sqrt{5}}{5} - 40$
$= 20\sqrt{5} + 20\sqrt{5} - 40$
$= 40\sqrt{5} - 40$

Total biaya proyek minimum = Biaya harian minimum $\times$ jumlah hari
Total biaya = $(40\sqrt{5} - 40) \times 10\sqrt{5}$
$= (40\sqrt{5})(10\sqrt{5}) - 40(10\sqrt{5})$
$= 400 \times 5 - 400\sqrt{5}$
$= 2000 - 400\sqrt{5}$

Nilai $\sqrt{5}$ kira-kira adalah 2.236.
Total biaya $\approx 2000 - 400(2.236)$
Total biaya $\approx 2000 - 894.4$
Total biaya $\approx 1105.6$ ribu rupiah.