Suatu segitiga ABC dengan koordinat A(0,0),B(4,8) agar

C(10,0) atau C(0,5) adalah beberapa kemungkinan.

Pembahasan

Diketahui segitiga ABC dengan koordinat titik A(0,0) dan B(4,8). Agar segitiga ABC menjadi segitiga samakaki, maka panjang kedua sisinya harus sama. Ada tiga kemungkinan pasangan sisi yang sama:

1.  AC = BC
2.  AB = AC
3.  AB = BC

Kita akan menganalisis setiap kemungkinan:

**Kasus 1: AC = BC**
Ini berarti titik C berjarak sama dari titik A dan titik B. Dalam hal ini, C terletak pada garis sumbu tegak lurus dari ruas garis AB.
Misalkan koordinat C adalah (x, y).
Jarak AC = $\sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$
Jarak BC = $\sqrt{(x-4)^2 + (y-8)^2}$
Karena AC = BC, maka $AC^2 = BC^2$.
$x^2 + y^2 = (x-4)^2 + (y-8)^2$
$x^2 + y^2 = (x^2 - 8x + 16) + (y^2 - 16y + 64)$
$0 = -8x + 16 - 16y + 64$
$0 = -8x - 16y + 80$
Bagi semua dengan -8:
$0 = x + 2y - 10$
$x + 2y = 10$
Atau $x = 10 - 2y$.
Jadi, setiap titik C(10-2y, y) akan membuat segitiga ABC samakaki dengan AC = BC. Contohnya, jika y=0, maka x=10, C(10,0). Jika y=5, maka x=0, C(0,5).

**Kasus 2: AB = AC**
Jarak AB = $\sqrt{(4-0)^2 + (8-0)^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80}$
Jarak AC = $\sqrt{(x-0)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$
Karena AB = AC, maka $AB^2 = AC^2$.
$80 = x^2 + y^2$
Ini adalah persamaan lingkaran dengan pusat di (0,0) dan jari-jari $\sqrt{80}$. Jadi, titik C bisa berada di mana saja pada lingkaran ini.

**Kasus 3: AB = BC**
Jarak AB = $\sqrt{80}$
Jarak BC = $\sqrt{(x-4)^2 + (y-8)^2}$
Karena AB = BC, maka $AB^2 = BC^2$.
$80 = (x-4)^2 + (y-8)^2$
Ini adalah persamaan lingkaran dengan pusat di (4,8) dan jari-jari $\sqrt{80}$. Jadi, titik C bisa berada di mana saja pada lingkaran ini.

Karena soal meminta 'koordinat C adalah....' (tunggal), kemungkinan besar soal menginginkan salah satu solusi spesifik dari kasus 1, atau ada informasi tambahan yang hilang yang mengarahkan ke satu solusi unik. Namun, berdasarkan informasi yang diberikan, ada banyak kemungkinan koordinat C.

Jika kita memilih titik C pada sumbu x atau y untuk kemudahan:
*   Jika C pada sumbu x, maka y=0. Dari kasus 1: x = 10 - 2(0) = 10. Jadi C(10,0). (AC = $\sqrt{10^2+0^2}=\sqrt{100}=10$, BC = $\sqrt{(10-4)^2+(0-8)^2}=\sqrt{6^2+(-8)^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$. AC=BC).
*   Jika C pada sumbu y, maka x=0. Dari kasus 1: 0 = 10 - 2y, sehingga 2y = 10, y=5. Jadi C(0,5). (AC = $\sqrt{0^2+5^2}=\sqrt{25}=5$, BC = $\sqrt{(0-4)^2+(5-8)^2}=\sqrt{(-4)^2+(-3)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$. AC=BC).

Jika soal mengimplikasikan titik C pada salah satu sumbu koordinat dan membentuk segitiga samakaki, maka C(10,0) atau C(0,5) adalah jawaban yang mungkin.

Namun, tanpa batasan lebih lanjut, koordinat C bisa berada pada lingkaran $x^2+y^2=80$ (jika AC=AB), lingkaran $(x-4)^2+(y-8)^2=80$ (jika BC=AB), atau garis $x+2y=10$ (jika AC=BC).