Sudut antara vektor u = (x 1 -3) dan vektor v = (-1 3 -2)

x = 2

Pembahasan

Untuk mencari nilai x, kita dapat menggunakan rumus hasil kali titik (dot product) antara dua vektor:

u · v = |u| |v| cos θ

Di mana:
u · v adalah hasil kali titik vektor u dan v
|u| adalah panjang vektor u
|v| adalah panjang vektor v
θ adalah sudut antara vektor u dan v

Langkah-langkah penyelesaian:
1. Hitung hasil kali titik u · v:
u · v = (x)(-1) + (1)(3) + (-3)(-2) = -x + 3 + 6 = -x + 9

2. Hitung panjang vektor u (|u|):
|u| = sqrt(x^2 + 1^2 + (-3)^2) = sqrt(x^2 + 1 + 9) = sqrt(x^2 + 10)

3. Hitung panjang vektor v (|v|):
|v| = sqrt((-1)^2 + 3^2 + (-2)^2) = sqrt(1 + 9 + 4) = sqrt(14)

4. Gunakan rumus hasil kali titik dengan θ = 60 derajat (cos 60 = 1/2):
-x + 9 = sqrt(x^2 + 10) * sqrt(14) * (1/2)
-x + 9 = (1/2) * sqrt(14(x^2 + 10))

5. Kuadratkan kedua sisi untuk menghilangkan akar:
(-x + 9)^2 = (1/4) * 14(x^2 + 10)
x^2 - 18x + 81 = (7/2) * (x^2 + 10)
2(x^2 - 18x + 81) = 7(x^2 + 10)
2x^2 - 36x + 162 = 7x^2 + 70

6. Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat:
0 = 7x^2 - 2x^2 + 36x + 70 - 162
0 = 5x^2 + 36x - 92

7. Selesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus ABC (x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a):
a = 5, b = 36, c = -92
x = [-36 ± sqrt(36^2 - 4 * 5 * -92)] / (2 * 5)
x = [-36 ± sqrt(1296 + 1840)] / 10
x = [-36 ± sqrt(3136)] / 10
x = [-36 ± 56] / 10

8. Dapatkan dua kemungkinan nilai x:
x1 = (-36 + 56) / 10 = 20 / 10 = 2
x2 = (-36 - 56) / 10 = -92 / 10 = -9.2

Karena nilai x biasanya diasumsikan positif dalam konteks soal geometri vektor sederhana, kita pilih x = 2. Namun, kedua nilai tersebut secara matematis valid berdasarkan perhitungan.

Jawaban singkat: Nilai x adalah 2.