Suku banyak P(x) = 3x^3-4x^2-6x+k habis dibagi (x-2) . Sisa

8x + 24

Pembahasan

Diketahui suku banyak P(x) = 3x^3 - 4x^2 - 6x + k habis dibagi (x - 2). Ini berarti jika P(x) dibagi (x - 2), sisanya adalah 0. Berdasarkan Teorema Sisa, P(2) = 0. Maka, substitusikan x = 2 ke dalam P(x): P(2) = 3(2)^3 - 4(2)^2 - 6(2) + k = 0. 3(8) - 4(4) - 12 + k = 0. 24 - 16 - 12 + k = 0. 8 - 12 + k = 0. -4 + k = 0. Jadi, k = 4. Sekarang kita punya P(x) = 3x^3 - 4x^2 - 6x + 4. Selanjutnya, kita akan membagi P(x) dengan (x^2 + 2x + 2). Kita bisa menggunakan pembagian polinomial bersusun. Namun, karena kita hanya perlu mencari sisa, kita bisa menggunakan hubungan bahwa jika P(x) dibagi oleh D(x) bersisa S(x), maka P(x) = Q(x)D(x) + S(x). Dalam kasus ini, D(x) = x^2 + 2x + 2. Kita bisa mencari akar-akar dari x^2 + 2x + 2 = 0 menggunakan rumus kuadratik: x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a. x = [-2 ± sqrt(2^2 - 4*1*2)] / 2*1. x = [-2 ± sqrt(4 - 8)] / 2. x = [-2 ± sqrt(-4)] / 2. x = [-2 ± 2i] / 2. x = -1 ± i. Karena pembaginya adalah kuadratik, maka sisanya akan berbentuk linear, yaitu ax + b. Kita bisa menggunakan akar-akar kompleks tersebut untuk mencari sisa. Namun, cara yang lebih umum adalah dengan pembagian bersusun. Mari kita lakukan pembagian bersusun: (3x^3 - 4x^2 - 6x + 4) : (x^2 + 2x + 2) = 3x - 10. Hasil kali (3x - 10)(x^2 + 2x + 2) = 3x(x^2 + 2x + 2) - 10(x^2 + 2x + 2) = 3x^3 + 6x^2 + 6x - 10x^2 - 20x - 20 = 3x^3 - 4x^2 - 14x - 20. Sisa = P(x) - (Q(x)D(x)) = (3x^3 - 4x^2 - 6x + 4) - (3x^3 - 4x^2 - 14x - 20) = 3x^3 - 4x^2 - 6x + 4 - 3x^3 + 4x^2 + 14x + 20 = 8x + 24. Jadi, sisa pembagian P(x) oleh (x^2 + 2x + 2) adalah 8x + 24.