Parabola y=a x^2+b x+1 menyinggung sumbu X. Jika garis

a=1

Pembahasan

Untuk menentukan nilai 'a' pada parabola y=ax^2+bx+1 yang menyinggung sumbu X dan memiliki garis singgung tertentu:

1.  **Menyinggung Sumbu X:**
    Agar parabola menyinggung sumbu X, diskriminan (D) harus sama dengan nol. D = b^2 - 4ac.
    Dalam kasus ini, c = 1 (konstanta pada persamaan y=ax^2+bx+1).
    Jadi, b^2 - 4a(1) = 0  =>  b^2 = 4a.

2.  **Garis Singgung di Titik (0,1):**
    Titik (0,1) harus berada pada parabola. Substitusikan x=0 dan y=1 ke persamaan parabola:
    1 = a(0)^2 + b(0) + 1
    1 = 1
    Ini mengkonfirmasi bahwa titik (0,1) memang berada pada parabola.

3.  **Gradien Garis Singgung:**
    Untuk mencari gradien garis singgung pada parabola, kita turunkan persamaan parabola terhadap x:
    dy/dx = 2ax + b
    Gradien di titik (0,1) adalah saat x=0:
    m_singgung = 2a(0) + b = b

4.  **Hubungan Gradien dengan Garis x - 2y - 1 = 0:**
    Garis x - 2y - 1 = 0 dapat ditulis ulang dalam bentuk y = mx + c:
    2y = x - 1
    y = (1/2)x - 1/2
    Gradien garis ini (m_garis) adalah 1/2.

5.  **Kondisi Tegak Lurus:**
    Garis singgung pada parabola tegak lurus dengan garis x - 2y - 1 = 0. Dua garis tegak lurus jika hasil perkalian gradiennya adalah -1.
    m_singgung * m_garis = -1
    b * (1/2) = -1
    b = -2

6.  **Mencari Nilai a:**
    Kita sudah punya hubungan b^2 = 4a dan nilai b = -2.
    Substitusikan nilai b ke persamaan:
    (-2)^2 = 4a
    4 = 4a
    a = 1

Jadi, nilai a adalah 1.