Suku ke-3 dan suku ke-5 barisan geometri berturut-turut 27

a. Rasio (r) = 1/3, Suku pertama (a) = 243. b. Rumus suku ke-n: Uₙ = 243 * (1/3)ⁿ⁻¹, Suku ke-9 = 1/27.

Pembahasan

Ini adalah soal tentang barisan geometri. Dalam barisan geometri, setiap suku diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan rasio (r).

Diketahui:
Suku ke-3 (U₃) = 27
Suku ke-5 (U₅) = 3
Rasio (r) positif.

Rumus umum suku ke-n pada barisan geometri adalah: Uₙ = a * rⁿ⁻¹

a. Mencari rasio (r) dan suku pertama (a):
Dari rumus:
U₃ = a * r³⁻¹ = a * r² = 27  ...(1)
U₅ = a * r⁵⁻¹ = a * r⁴ = 3   ...(2)

Kita bagi persamaan (2) dengan persamaan (1):
(a * r⁴) / (a * r²) = 3 / 27
r² = 1/9
Karena rasio ditentukan positif, maka:
r = √(1/9)
r = 1/3

Sekarang kita substitusikan nilai r ke persamaan (1) untuk mencari a:
a * (1/3)² = 27
a * (1/9) = 27
a = 27 * 9
a = 243

Jadi, rasio barisan ini adalah 1/3 dan suku pertamanya adalah 243.

b. Mencari rumus suku ke-n dan suku ke-9:
Rumus suku ke-n adalah Uₙ = a * rⁿ⁻¹
Dengan a = 243 dan r = 1/3, maka:
Uₙ = 243 * (1/3)ⁿ⁻¹
Kita bisa menyederhanakan 243 sebagai 3⁵:
Uₙ = 3⁵ * (3⁻¹)ⁿ⁻¹
Uₙ = 3⁵ * 3⁻ⁿ⁺¹
Uₙ = 3⁵⁻ⁿ⁺¹
Uₙ = 3⁶⁻ⁿ

Sekarang kita cari suku ke-9 (U₉):
U₉ = 243 * (1/3)⁹⁻¹
U₉ = 243 * (1/3)⁸
U₉ = 3⁵ * (1 / 3⁸)
U₉ = 3⁵ / 3⁸
U₉ = 3⁵⁻⁸
U₉ = 3⁻³
U₉ = 1 / 3³
U₉ = 1/27

Atau menggunakan rumus Uₙ = 3⁶⁻ⁿ:
U₉ = 3⁶⁻⁹
U₉ = 3⁻³
U₉ = 1/27

Jadi, rumus suku ke-n adalah Uₙ = 243 * (1/3)ⁿ⁻¹ (atau Uₙ = 3⁶⁻ⁿ) dan suku ke-9 adalah 1/27.