Tentukan nilai a dan b sehingga sistem persamaan linear di

$a=2$, $b=2$. Sistem memiliki selesaian tak hingga karena kedua persamaan tersebut ekuivalen.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai $a$ dan $b$ agar sistem persamaan linear memiliki selesaian $(2, 3)$, kita substitusikan $x=2$ dan $y=3$ ke dalam kedua persamaan:

Persamaan 1: $12x - 2by = 12$
$12(2) - 2b(3) = 12$
$24 - 6b = 12$
$-6b = 12 - 24$
$-6b = -12$
$b = 2$

Persamaan 2: $3ax - by = 6$
$3a(2) - b(3) = 6$
$6a - 3b = 6$

Sekarang kita substitusikan nilai $b=2$ yang telah kita temukan ke dalam persamaan kedua:
$6a - 3(2) = 6$
$6a - 6 = 6$
$6a = 12$
$a = 2$

Jadi, nilai $a=2$ dan $b=2$.

Sistem persamaannya menjadi:
$12x - 2(2)y = 12 	 	 	 	 	 	 12x - 4y = 12$
$3(2)x - (2)y = 6 	 	 	 	 	 	 6x - 2y = 6$

Kita perlu memeriksa apakah sistem ini memiliki selesaian lain selain $(2, 3)$. Dua garis lurus dikatakan memiliki selesaian yang tak hingga banyaknya jika kedua garis tersebut adalah garis yang sama (koefisiennya proporsional). Mari kita cek proporsionalitasnya:

Untuk persamaan pertama, kita bisa membaginya dengan 4:
$(12x - 4y = 12) / 4 	 	 	 	 	 	 3x - y = 3$

Untuk persamaan kedua, kita bisa membaginya dengan 2:
$(6x - 2y = 6) / 2 	 	 	 	 	 	 3x - y = 3$

Karena kedua persamaan tersebut menghasilkan persamaan yang sama ($3x - y = 3$), ini berarti kedua garis tersebut berimpit. Garis $3x - y = 3$ memiliki tak hingga banyaknya selesaian.

Karena sistem persamaan tersebut menghasilkan persamaan yang sama, maka sistem persamaan tersebut memiliki selesaian yang tak hingga banyaknya. Selesaiannya adalah semua pasangan $(x, y)$ yang memenuhi persamaan $3x - y = 3$, yang bisa ditulis sebagai $y = 3x - 3$. Selesaian $(2, 3)$ adalah salah satu dari selesaian tak hingga tersebut, karena $3(2) - 3 = 6 - 3 = 3$.