Suku kedua puluh pada barisan bilangan 1,3,6,10,15, ....

210

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk menemukan suku ke-20 dari barisan bilangan 1, 3, 6, 10, 15, ....

Mari kita analisis pola barisan bilangan tersebut:
Suku ke-1: 1
Suku ke-2: 3 (+2 dari suku sebelumnya)
Suku ke-3: 6 (+3 dari suku sebelumnya)
Suku ke-4: 10 (+4 dari suku sebelumnya)
Suku ke-5: 15 (+5 dari suku sebelumnya)

Ini adalah barisan aritmetika tingkat kedua, di mana selisih antara suku-suku berurutan membentuk barisan aritmetika.

Selisih tingkat pertama:
3 - 1 = 2
6 - 3 = 3
10 - 6 = 4
15 - 10 = 5

Selisih tingkat kedua:
3 - 2 = 1
4 - 3 = 1
5 - 4 = 1

Karena selisih tingkat kedua konstan (yaitu 1), kita bisa menggunakan rumus umum untuk barisan aritmetika tingkat kedua:
Un = An^2 + Bn + C

Di mana:
Untuk selisih tingkat kedua (konstan 'd') = 2A
Untuk selisih tingkat pertama suku pertama = 3A + B
Untuk suku pertama = A + B + C

Dari data kita:
Selisih tingkat kedua = 1, maka 2A = 1 => A = 1/2.
Selisih tingkat pertama suku pertama = 2, maka 3A + B = 2 => 3(1/2) + B = 2 => 1.5 + B = 2 => B = 0.5 = 1/2.
Suku pertama = 1, maka A + B + C = 1 => 1/2 + 1/2 + C = 1 => 1 + C = 1 => C = 0.

Jadi, rumus suku ke-n adalah:
Un = (1/2)n^2 + (1/2)n
Un = (n^2 + n) / 2
Un = n(n+1) / 2

Rumus ini dikenal sebagai rumus bilangan segitiga.

Untuk mencari suku ke-20 (U20), kita substitusikan n = 20 ke dalam rumus:
U20 = 20(20+1) / 2
U20 = 20(21) / 2
U20 = 10 * 21
U20 = 210

Jadi, suku kedua puluh pada barisan bilangan tersebut adalah 210.