Fungsi f(x)=x^3+3kx^2-9k^2x-4 turun dalam selang -2<x<

k < -2 atau k > 6

Pembahasan

Fungsi f(x)=x^3+3kx^2-9k^2x-4 akan turun ketika turunannya, f'(x), bernilai negatif. Pertama, kita cari turunan dari f(x):
f'(x) = d/dx(x^3+3kx^2-9k^2x-4)
f'(x) = 3x^2 + 6kx - 9k^2

Agar fungsi turun dalam selang -2 < x < 6, maka f'(x) < 0 dalam selang tersebut. Kita bisa memfaktorkan f'(x):
f'(x) = 3(x^2 + 2kx - 3k^2)
f'(x) = 3(x + 3k)(x - k)

Agar f'(x) < 0, maka nilai x harus berada di antara akar-akarnya, yaitu -3k dan k (atau sebaliknya, tergantung nilai k). Jadi, selang -2 < x < 6 harus berada di dalam selang (-3k, k) atau (k, -3k).

Untuk memastikan fungsi turun dalam selang -2 < x < 6, kedua batas selang (-2 dan 6) harus berada di antara akar-akarnya. Jadi kita harus memiliki:
-3k < -2 dan k > 6
Atau
k < -2 dan -3k > 6

Mari kita analisis kasus pertama: -3k < -2  => k > 2/3. Dan k > 6. Irisan dari kedua kondisi ini adalah k > 6.

Mari kita analisis kasus kedua: k < -2. Dan -3k > 6 => k < -2. Irisan dari kedua kondisi ini adalah k < -2.

Namun, soal meminta nilai k agar fungsi turun dalam selang -2 < x < 6. Ini berarti bahwa akar-akar dari f'(x) harus berada di luar selang tersebut, atau salah satu akar berada di dalam dan yang lain di luar, sehingga f'(x) negatif di dalam selang tersebut. Agar f'(x) < 0 pada selang -2 < x < 6, maka kita perlu memastikan bahwa nilai x di dalam selang tersebut membuat f'(x) negatif.

Salah satu cara agar f'(x) < 0 dalam selang -2 < x < 6 adalah jika selang tersebut berada di antara akar-akarnya. 
Kasus 1: -3k < -2 dan k > 6. Dari -3k < -2 didapat k > 2/3. Dari k > 6 didapat k > 6. Maka k > 6.
Kasus 2: k < -2 dan -3k > 6. Dari k < -2 didapat k < -2. Dari -3k > 6 didapat k < -2. Maka k < -2.

Jadi, nilai k yang memenuhi adalah k < -2 atau k > 6.