Supaya ax^2+6x+a-8 positif untuk setiap nilai x real, maka

a > 9

Pembahasan

Agar fungsi kuadrat ax^2 + 6x + a - 8 selalu positif untuk setiap nilai x real, maka dua syarat harus dipenuhi:
1. Koefisien dari x^2 (yaitu 'a') harus positif, karena parabola terbuka ke atas.
   a > 0
2. Diskriminan (D) harus negatif, karena grafik fungsi tidak memotong atau menyinggung sumbu x (memiliki akar imajiner).
   D = b^2 - 4ac < 0
Dalam kasus ini, a = a, b = 6, dan c = a - 8.
Maka, diskriminannya adalah:
D = (6)^2 - 4(a)(a - 8)
D = 36 - 4a(a - 8)
D = 36 - 4a^2 + 32a
Kita harus memenuhi D < 0:
36 - 4a^2 + 32a < 0
Bagi seluruh persamaan dengan -4 (dan balik arah pertidaksamaan):
a^2 - 8a - 9 > 0
Sekarang, faktorkan kuadrat ini:
(a - 9)(a + 1) > 0
Untuk pertidaksamaan ini, kita cari nilai-nilai 'a' di mana hasil perkaliannya positif. Ini terjadi ketika kedua faktor positif atau kedua faktor negatif.
Kasus 1: Kedua faktor positif
a - 9 > 0  => a > 9
a + 1 > 0  => a > -1
Irisan dari kedua kondisi ini adalah a > 9.
Kasus 2: Kedua faktor negatif
a - 9 < 0  => a < 9
a + 1 < 0  => a < -1
Irisan dari kedua kondisi ini adalah a < -1.
Jadi, solusi untuk (a - 9)(a + 1) > 0 adalah a < -1 atau a > 9.
Namun, kita juga memiliki syarat pertama bahwa a > 0. Maka, kita harus menggabungkan a > 0 dengan (a < -1 atau a > 9).
Irisan dari a > 0 dan a < -1 adalah himpunan kosong.
Irisan dari a > 0 dan a > 9 adalah a > 9.
Oleh karena itu, nilai 'a' agar ax^2 + 6x + a - 8 positif untuk setiap nilai x real adalah a > 9.