Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 11Kelas 12mathKalkulus

Syarat agar fungsi g(x)=-x^3+1/2 ax^2-1/2 x^2-3x+8 selalu

Pertanyaan

Syarat agar fungsi g(x)=-x^3+1/2 ax^2-1/2 x^2-3x+8 selalu turun untuk semua nilai real x adalah ....

Solusi

Verified

-5 < a < 7

Pembahasan

Agar fungsi g(x) = -x^3 + 1/2 ax^2 - 1/2 x^2 - 3x + 8 selalu turun, turunan pertamanya, g'(x), harus selalu negatif untuk semua nilai real x. Pertama, mari kita sederhanakan fungsi g(x): g(x) = -x^3 + (1/2 a - 1/2)x^2 - 3x + 8 Selanjutnya, kita cari turunan pertama g'(x): g'(x) = d/dx (-x^3 + (1/2 a - 1/2)x^2 - 3x + 8) g'(x) = -3x^2 + 2(1/2 a - 1/2)x - 3 g'(x) = -3x^2 + (a - 1)x - 3 Agar fungsi g(x) selalu turun, maka g'(x) < 0 untuk semua x real. Ini berarti parabola y = g'(x) harus berada di bawah sumbu x. Untuk sebuah fungsi kuadrat Ax^2 + Bx + C, agar selalu bernilai negatif, maka: 1. Koefisien A harus negatif (dalam kasus ini, -3, yang memang negatif). 2. Diskriminan (Δ = B^2 - 4AC) harus negatif. Dalam g'(x) = -3x^2 + (a - 1)x - 3: A = -3 B = a - 1 C = -3 Sekarang kita hitung diskriminannya: Δ = (a - 1)^2 - 4(-3)(-3) Δ = (a - 1)^2 - 36 Agar g'(x) < 0 untuk semua x, maka Δ < 0: (a - 1)^2 - 36 < 0 (a - 1)^2 < 36 Ambil akar kuadrat dari kedua sisi: |a - 1| < 6 Ini berarti: -6 < a - 1 < 6 Tambahkan 1 ke semua bagian: -6 + 1 < a < 6 + 1 -5 < a < 7 Jadi, syarat agar fungsi g(x) selalu turun untuk semua nilai real x adalah -5 < a < 7.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Turunan Fungsi
Section: Kemonotonan Fungsi

Apakah jawaban ini membantu?