Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari: 4x+y<= 4;

Daerah segitiga yang dibatasi oleh titik (0,2), (2/3, 4/3), dan (0,4).

Pembahasan

Untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear:
1. 4x + y <= 4
2. x + y >= 2
3. x >= 0

Kita akan mencari titik-titik potong untuk setiap pertidaksamaan dan menggambarkannya pada sistem koordinat.

Untuk 4x + y <= 4:
Jika x=0, maka y=4. Titik potong (0, 4).
Jika y=0, maka 4x=4, x=1. Titik potong (1, 0).
Garis memotong sumbu y di 4 dan sumbu x di 1. Daerah penyelesaian berada di bawah garis (termasuk garis).

Untuk x + y >= 2:
Jika x=0, maka y=2. Titik potong (0, 2).
Jika y=0, maka x=2. Titik potong (2, 0).
Garis memotong sumbu y di 2 dan sumbu x di 2. Daerah penyelesaian berada di atas garis (termasuk garis).

Untuk x >= 0:
Daerah penyelesaian berada di sebelah kanan sumbu y (termasuk sumbu y).

Daerah himpunan penyelesaian adalah irisan dari ketiga daerah tersebut. Mari kita analisis titik-titik sudut yang mungkin:

- Titik potong antara 4x + y = 4 dan x + y = 2:
   Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama:
   (4x + y) - (x + y) = 4 - 2
   3x = 2
   x = 2/3
   Substitusikan x = 2/3 ke x + y = 2:
   2/3 + y = 2
   y = 2 - 2/3 = 6/3 - 2/3 = 4/3
   Titik potong adalah (2/3, 4/3).

- Titik potong antara x + y = 2 dan x = 0:
   0 + y = 2
   y = 2
   Titik potong adalah (0, 2).

- Titik potong antara 4x + y = 4 dan x = 0:
   4(0) + y = 4
   y = 4
   Titik potong adalah (0, 4).

Sekarang kita periksa apakah titik-titik ini memenuhi semua pertidaksamaan:

1. Titik (2/3, 4/3):
   - 4(2/3) + 4/3 = 8/3 + 4/3 = 12/3 = 4. (Memenuhi 4x + y <= 4)
   - 2/3 + 4/3 = 6/3 = 2. (Memenuhi x + y >= 2)
   - 2/3 >= 0. (Memenuhi x >= 0)
   Titik (2/3, 4/3) adalah bagian dari daerah himpunan penyelesaian.

2. Titik (0, 2):
   - 4(0) + 2 = 2. (Memenuhi 4x + y <= 4)
   - 0 + 2 = 2. (Memenuhi x + y >= 2)
   - 0 >= 0. (Memenuhi x >= 0)
   Titik (0, 2) adalah bagian dari daerah himpunan penyelesaian.

3. Titik (0, 4):
   - 4(0) + 4 = 4. (Memenuhi 4x + y <= 4)
   - 0 + 4 = 4. (Memenuhi x + y >= 2)
   - 0 >= 0. (Memenuhi x >= 0)
   Titik (0, 4) adalah bagian dari daerah himpunan penyelesaian.

Daerah himpunan penyelesaian dibatasi oleh garis x=0 (sumbu y), garis x+y=2, dan garis 4x+y=4. Ini adalah daerah segitiga dengan titik-titik sudut (0, 2), (0, 4), dan (2/3, 4/3). Namun, karena pertidaksamaan 4x+y<=4 dan x+y>=2, maka daerahnya adalah daerah segitiga yang dibatasi oleh titik (0,2), (1,0) dan titik potong kedua garis tersebut yaitu (2/3, 4/3). Namun karena x>=0, maka yang valid adalah daerah yang dibatasi oleh titik (0,2), (0,4) dan (2/3, 4/3).

Sebuah pendekatan yang lebih jelas adalah dengan menguji sebuah titik, misalnya (0,0):
- 4(0) + 0 <= 4 -> 0 <= 4 (Benar, jadi daerahnya di bawah garis 4x+y=4)
- 0 + 0 >= 2 -> 0 >= 2 (Salah, jadi daerahnya di atas garis x+y=2)
- 0 >= 0 (Benar, jadi daerahnya di kanan sumbu y)

Daerah himpunan penyelesaian adalah daerah yang berada di kuadran I, di bawah garis 4x+y=4, dan di atas garis x+y=2. Ini adalah daerah segitiga yang dibatasi oleh titik (0,2), (2/3, 4/3), dan (1,0) adalah titik potong 4x+y=4 dengan sumbu x, tapi titik ini tidak memenuhi x+y>=2 (1+0=1 < 2). Jadi daerah penyelesaiannya adalah daerah segitiga dengan titik sudut (0,2), (2/3, 4/3) dan (0,4) serta daerah yang dibatasi oleh titik (0,2), (2/3, 4/3) dan (2,0).

Secara visual, daerah himpunan penyelesaiannya adalah area yang dibatasi oleh sumbu y (x=0) dari y=2 hingga y=4, garis x+y=2 dari (0,2) ke (2/3, 4/3), dan garis 4x+y=4 dari (2/3, 4/3) ke (0,4).