T' kan hasil baginya (5)/(3^(1/5) + 2^(1/5))

\(3^{4/5} - 3^{3/5}2^{1/5} + 3^{2/5}2^{2/5} - 3^{1/5}2^{3/5} + 2^{4/5})\)

Pembahasan

Untuk men\'yederhanakan ekspresi \(\frac{5}{3^{1/5} + 2^{1/5}}\), kita dapat menggunakan metode \'rationalizing the denominator\'. Dalam hal ini, kita akan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat yang sesuai untuk menghilangkan akar pangkat lima di penyebut. Namun, proses ini cukup kompleks dan biasanya melibatkan rumus selisih kubus atau jumlah kubus yang dimodifikasi untuk akar pangkat lima.\n\nSecara umum, untuk \(a^{1/n} + b^{1/n}\), konjugatnya akan lebih rumit. Jika kita misalkan \(x = 3^{1/5}\) dan \(y = 2^{1/5}\), maka ekspresi menjadi \(\frac{5}{x+y}\). Kita perlu mengalikan dengan \(x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4\) untuk mendapatkan \(x^5 + y^5\) di penyebut.\n\n\(x^5 = (3^{1/5})^5 = 3\)\n\(y^5 = (2^{1/5})^5 = 2\)\n\(x^5 + y^5 = 3 + 2 = 5\)\n\nJadi, \(\frac{5}{x+y} \times \frac{x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4}{x^4 - x^3y + x^2y^2 - xy^3 + y^4} = \frac{5(3^{4/5} - 3^{3/5}2^{1/5} + 3^{2/5}2^{2/5} - 3^{1/5}2^{3/5} + 2^{4/5})}{3^5 + 2^5}\) <- Ini salah karena penyebutnya bukan x^5 + y^5. \n\nMari kita gunakan identitas \(a^n + b^n\) jika n ganjil. Dalam kasus ini, n=5, yang ganjil. \(a^5 + b^5 = (a+b)(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4)\).\n\nJadi, jika kita misalkan \(a = 3^{1/5}\) dan \(b = 2^{1/5}\), maka \(a+b = 3^{1/5} + 2^{1/5}\).\nUntuk membuat penyebut menjadi \(a^5 + b^5\), kita perlu mengalikan dengan \(a^4 - a^3b + a^2b^2 - ab^3 + b^4\).\n\nPembilang = \(5 \times ( (3^{1/5})^4 - (3^{1/5})^3(2^{1/5}) + (3^{1/5})^2(2^{1/5})^2 - (3^{1/5})(2^{1/5})^3 + (2^{1/5})^4 )\)\nPembilang = \(5 \times ( 3^{4/5} - 3^{3/5}2^{1/5} + 3^{2/5}2^{2/5} - 3^{1/5}2^{3/5} + 2^{4/5} )\)\n\nPenyebut = \((3^{1/5} + 2^{1/5}) \times ( 3^{4/5} - 3^{3/5}2^{1/5} + 3^{2/5}2^{2/5} - 3^{1/5}2^{3/5} + 2^{4/5} )\)\nPenyebut = \((3^{1/5})^5 + (2^{1/5})^5\) = 3 + 2 = 5.\n\nMaka, hasil baginya adalah: \(\frac{5 \times ( 3^{4/5} - 3^{3/5}2^{1/5} + 3^{2/5}2^{2/5} - 3^{1/5}2^{3/5} + 2^{4/5} )}{5}\)\n= \(3^{4/5} - 3^{3/5}2^{1/5} + 3^{2/5}2^{2/5} - 3^{1/5}2^{3/5} + 2^{4/5})\)