Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 8 cm . Nilai

\(\frac{1}{3}\)

Pembahasan

Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Kita perlu mencari kosinus sudut antara bidang BDE dan bidang BDG.\nBidang BDE dibentuk oleh titik B, D, dan E. Bidang BDG dibentuk oleh titik B, D, dan G.\nKedua bidang ini berpotongan pada garis BD.\nUntuk mencari sudut antara dua bidang, kita perlu mencari garis di masing-masing bidang yang tegak lurus terhadap garis potong BD.\nMisalkan O adalah titik pusat kubus (titik potong diagonal AC dan BD).\nPada bidang BDE: Garis EO tegak lurus terhadap BD. (Karena EO adalah garis tinggi pada segitiga sama kaki BED, di mana BE = DE = \(8\sqrt{2}\) dan BD = \(8\sqrt{2}\)).\nPada bidang BDG: Garis OG tegak lurus terhadap BD. (Karena OG adalah garis tinggi pada segitiga sama kaki BGD, di mana BG = DG = \(8\sqrt{2}\) dan BD = \(8\sqrt{2}\)).\n\nSudut antara bidang BDE dan BDG adalah sudut antara garis EO dan OG, yaitu sudut EOG.\nSegitiga EOG adalah segitiga siku-siku di O. (Diagonal-diagonal persegi EFGH berpotongan tegak lurus di O, dan EG tegak lurus terhadap BD, sehingga EO tegak lurus BD dan OG tegak lurus BD).\n\nPanjang rusuk kubus = a = 8 cm.\nPanjang diagonal bidang (misal BD) = \(a\sqrt{2} = 8\sqrt{2}\, cm.\nPanjang diagonal ruang (misal BG) = \(a\sqrt{3} = 8\sqrt{3}\, cm.\n\nEO adalah setengah dari diagonal bidang EFGH, jadi EO = \(\frac{1}{2} \times EG = \frac{1}{2} \times 8\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\, cm.\nOG adalah setengah dari diagonal bidang EFGH, jadi OG = \(\frac{1}{2} \times EG = \frac{1}{2} \times 8\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\, cm.\n\nPerhatikan segitiga EOG. Sisi EO = \(4\sqrt{2}\, cm, sisi OG = \(4\sqrt{2}\, cm.\nUntuk mencari kosinus sudut EOG, kita perlu panjang EG. EG adalah diagonal bidang EFGH, jadi EG = \(8\sqrt{2}\, cm.\n\nMenggunakan aturan kosinus pada segitiga EOG:\n\(EG^2 = EO^2 + OG^2 - 2(EO)(OG)\cos(\angle EOG)\)\n\((8\sqrt{2})^2 = (4\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 - 2(4\sqrt{2})(4\sqrt{2})\cos(\angle EOG)\)\n\(128 = 32 + 32 - 2(32)\cos(\angle EOG)\)\n\(128 = 64 - 64\cos(\angle EOG)\)\n\(64 = -64\cos(\angle EOG)\)\n\(\cos(\angle EOG) = -1\)\n\nIni tampaknya salah. Mari kita tinjau kembali.\n\nBidang BDE dan BDG berpotongan pada garis BD.\nTitik E dan G berada pada bidang yang sama (bidang EFGH).\n\nMisalkan kita ambil vektor normal untuk kedua bidang.\nMisalkan A=(0,0,0), B=(8,0,0), C=(8,8,0), D=(0,8,0), E=(0,0,8), F=(8,0,8), G=(8,8,8), H=(0,8,8).\n
Untuk bidang BDE:\nVektor \(\vec{DB} = B - D = (8,0,0) - (0,8,0) = (8,-8,0)\)\nVektor \(\vec{DE} = E - D = (0,0,8) - (0,8,0) = (0,-8,8)\)\nNormal bidang BDE = \(\vec{DB} \times \vec{DE} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 8 & -8 & 0 \\ 0 & -8 & 8 \end{vmatrix} = i(-64-0) - j(64-0) + k(-64-0) = (-64, -64, -64)\). Kita bisa ambil normal \(n_1 = (1, 1, 1)\).\n
Untuk bidang BDG:\nVektor \(\vec{DB} = (8,-8,0)\)\nVektor \(\vec{DG} = G - D = (8,8,8) - (0,8,0) = (8,0,8)\)\nNormal bidang BDG = \(\vec{DB} \times \vec{DG} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 8 & -8 & 0 \\ 8 & 0 & 8 \end{vmatrix} = i(-64-0) - j(64-0) + k(0-(-64)) = (-64, -64, 64)\). Kita bisa ambil normal \(n_2 = (-1, -1, 1)\).\n
Kosinus sudut antara dua bidang adalah nilai absolut dari kosinus sudut antara normalnya.\n\(\cos \theta = \frac{|n_1 \cdot n_2|}{||n_1|| ||n_2||}\)\n\(n_1 \cdot n_2 = (1)(-1) + (1)(-1) + (1)(1) = -1 - 1 + 1 = -1\)\n\(||n_1|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}\)\n\(||n_2|| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}\)\n\(\cos \theta = \frac{|-1|}{\sqrt{3} \sqrt{3}} = \frac{1}{3}\)\n
Jadi, nilai kosinus sudut antara bidang BDE dan bidang BDG adalah \(\frac{1}{3}\).