Tabel f(x)= n Cx(p)^x(q)^n-x dan F(x)=sigmax=0^n/ n

a. Peluang 60% barang baik (9 dari 15) adalah sekitar 0.0194. b. Peluang paling banyak 20% barang tidak baik (atau minimal 80% barang baik, yaitu 12 dari 15) adalah sekitar 0.9444.

Pembahasan

Untuk menghitung peluang barang berkualitas baik dan tidak baik dari mesin produksi, kita dapat menggunakan distribusi binomial.

a. Peluang 60% barang berkualitas baik dari 15 barang:
Ini berarti kita mencari peluang tepat 0.60 * 15 = 9 barang berkualitas baik.
Rumus binomial: P(X=k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k)
Di sini, n = 15 (jumlah barang), k = 9 (jumlah barang berkualitas baik).
Dari tabel yang diberikan, kita perlu nilai p (peluang barang berkualitas baik) dan q (peluang barang berkualitas tidak baik).
Asumsikan dari soal yang diberikan p = 1/2 (karena ada beberapa baris dengan p=1/2), maka q = 1 - 1/2 = 1/2.
Namun, tabel juga menunjukkan nilai p lain seperti 1/6, 1/9, 1/5, 4/5, 0.1, 0.9. Soal menyatakan "Sembilan puluh persen dari sejumlah barang yang dihasilkan sebuah mesin produksi berkualitas baik", jadi kita gunakan p = 0.9 dan q = 0.1.

P(X=9) = C(15, 9) * (0.9)^9 * (0.1)^(15-9)
P(X=9) = C(15, 9) * (0.9)^9 * (0.1)^6
C(15, 9) = 15! / (9! * (15-9)!) = 15! / (9! * 6!) = 5005
P(X=9) = 5005 * (0.9)^9 * (0.1)^6
P(X=9) = 5005 * 0.387420489 * 0.000001
P(X=9) ≈ 0.01937

b. Paling banyak 20% barang berkualitas tidak baik:
Ini berarti paling banyak 0.20 * 15 = 3 barang berkualitas tidak baik.
Jika ada paling banyak 3 barang berkualitas tidak baik, berarti ada paling sedikit 15 - 3 = 12 barang berkualitas baik.
Kita perlu menghitung P(X ≤ 3) untuk barang berkualitas tidak baik (dengan p=0.1 untuk barang berkualitas tidak baik).
Atau, kita hitung P(X ≥ 12) untuk barang berkualitas baik (dengan p=0.9 untuk barang berkualitas baik).
Mari kita gunakan p = 0.9 untuk barang berkualitas baik.
Kita perlu P(X ≥ 12) = P(X=12) + P(X=13) + P(X=14) + P(X=15).

P(X=12) = C(15, 12) * (0.9)^12 * (0.1)^3
P(X=12) = 455 * 0.282429536 * 0.001 ≈ 0.1285

P(X=13) = C(15, 13) * (0.9)^13 * (0.1)^2
P(X=13) = 105 * 0.254186583 * 0.01 ≈ 0.2669

P(X=14) = C(15, 14) * (0.9)^14 * (0.1)^1
P(X=14) = 15 * 0.228767925 * 0.1 ≈ 0.3431

P(X=15) = C(15, 15) * (0.9)^15 * (0.1)^0
P(X=15) = 1 * 0.205891132 * 1 ≈ 0.2059

P(X ≥ 12) ≈ 0.1285 + 0.2669 + 0.3431 + 0.2059 ≈ 0.9444

Perhatikan bahwa nilai-nilai ini mendekati nilai F(x) yang ada di tabel jika kita mengasumsikan n=15 dan p=0.9, namun perhitungan manual untuk F(x) yang diberikan di tabel tidak sepenuhnya cocok dengan p=0.9.