Diketahui suku kedua deret geometri tak hingga adalah 2.

1/4 atau 3/4

Pembahasan

Diketahui deret geometri tak hingga dengan suku kedua (U2) = 2 dan jumlahnya (S) = 10 2/3 = 32/3.
Rumus suku kedua deret geometri adalah U2 = a * r, di mana a adalah suku pertama dan r adalah rasio.
Rumus jumlah deret geometri tak hingga yang konvergen adalah S = a / (1 - r).
Dari U2 = a * r, kita dapat menyatakan a = U2 / r = 2 / r.
Substitusikan nilai a ke dalam rumus jumlah:
S = (2 / r) / (1 - r)
32/3 = 2 / (r * (1 - r))
32/3 = 2 / (r - r^2)
32 * (r - r^2) = 3 * 2
32r - 32r^2 = 6
Bagi kedua sisi dengan 2:
16r - 16r^2 = 3
Susun ulang menjadi persamaan kuadrat:
16r^2 - 16r + 3 = 0
Kita bisa memfaktorkan persamaan kuadrat ini atau menggunakan rumus kuadratik. Mari kita coba faktorkan:
(4r - 1)(4r - 3) = 0
Maka, solusi untuk r adalah:
4r - 1 = 0  => r = 1/4
4r - 3 = 0  => r = 3/4
Untuk deret geometri tak hingga agar konvergen, nilai rasio |r| harus kurang dari 1. Kedua nilai rasio (1/4 dan 3/4) memenuhi syarat ini.
Namun, kita perlu memeriksa kembali apakah kedua rasio ini valid dengan suku kedua. Jika r = 1/4, maka a = 2 / (1/4) = 8. S = 8 / (1 - 1/4) = 8 / (3/4) = 32/3. Ini cocok.
Jika r = 3/4, maka a = 2 / (3/4) = 8/3. S = (8/3) / (1 - 3/4) = (8/3) / (1/4) = 32/3. Ini juga cocok.
Karena soal hanya meminta 'rasionya' tanpa menentukan apakah ada dua kemungkinan atau hanya satu, kita berikan kedua nilai yang memenuhi.
Jadi, rasionya bisa 1/4 atau 3/4.