Tanpa kalkulator; tentukan x (0 <=pi <= 2pi) dari persamaan

Solusi untuk sin(2x - pi/3) = 1/2 adalah x = pi/4, 5pi/4, 7pi/12, 19pi/12. Solusi untuk tan(3/2 x - pi/6) = -sqrt(3) adalah x = 5pi/9, 11pi/9, 17pi/9.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan $\sin(2x - \frac{1}{3}\pi) = \frac{1}{2}$, kita cari sudut yang sinusnya adalah $\frac{1}{2}$. Sudut-sudut tersebut adalah $\frac{\pi}{6}$ dan $\frac{5\pi}{6}$ (dalam interval $[0, 2\pi)$). Jadi, kita punya dua kasus:

Kasus 1: $2x - \frac{1}{3}\pi = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$
$2x = \frac{\pi}{6} + \frac{1}{3}\pi + 2k\pi$
$2x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + 2k\pi$
$2x = \frac{3\pi}{6} + 2k\pi$
$2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$
$x = \frac{\pi}{4} + k\pi$

Untuk $k=0$, $x = \frac{\pi}{4}$.
Untuk $k=1$, $x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$.

Kasus 2: $2x - \frac{1}{3}\pi = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$
$2x = \frac{5\pi}{6} + \frac{1}{3}\pi + 2k\pi$
$2x = \frac{5\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + 2k\pi$
$2x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$
$x = \frac{7\pi}{12} + k\pi$

Untuk $k=0$, $x = \frac{7\pi}{12}$.
Untuk $k=1$, $x = \frac{7\pi}{12} + \pi = \frac{19\pi}{12}$.

Himpunan penyelesaian untuk a adalah: {$\frac{\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{12}, \frac{19\pi}{12}$}.

Untuk menyelesaikan persamaan $\tan(\frac{3}{2}x - \frac{1}{6}\pi) = -\sqrt{3}$, kita cari sudut yang tangennya adalah $-\sqrt{3}$. Sudut tersebut adalah $\frac{2\pi}{3}$ (dalam interval $[0, \pi)$). Maka:

$\frac{3}{2}x - \frac{1}{6}\pi = \frac{2\pi}{3} + k\pi$
$\frac{3}{2}x = \frac{2\pi}{3} + \frac{1}{6}\pi + k\pi$
$\frac{3}{2}x = \frac{4\pi}{6} + \frac{1\pi}{6} + k\pi$
$\frac{3}{2}x = \frac{5\pi}{6} + k\pi$
$x = \frac{5\pi}{6} \times \frac{2}{3} + k\pi \times \frac{2}{3}$
$x = \frac{10\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3}$
$x = \frac{5\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}$

Untuk $k=0$, $x = \frac{5\pi}{9}$.
Untuk $k=1$, $x = \frac{5\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} = \frac{5\pi}{9} + \frac{6\pi}{9} = \frac{11\pi}{9}$.
Untuk $k=2$, $x = \frac{5\pi}{9} + \frac{4\pi}{3} = \frac{5\pi}{9} + \frac{12\pi}{9} = \frac{17\pi}{9}$.

Himpunan penyelesaian untuk b adalah: {$\frac{5\pi}{9}, \frac{11\pi}{9}, \frac{17\pi}{9}$}.

Dengan menggabungkan kedua himpunan penyelesaian dan memastikan bahwa $0 
ogleq x 
ogleq 2\pi$, kita mendapatkan solusi akhir.