Tanpa menggunakan tabel matematika maupun kalkulator,

Nilai sin 36 derajat adalah sqrt(10 - 2*sqrt(5)) / 4.

Pembahasan

Menentukan nilai sin 36 derajat tanpa tabel atau kalkulator memerlukan penggunaan identitas trigonometri dan pengetahuan tentang sudut-sudut khusus. Salah satu pendekatan yang umum digunakan adalah dengan menggunakan sifat segitiga sama kaki dan pembagian sudut.

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
1. Buat segitiga sama kaki ABC dengan sudut puncak A = 36 derajat. Maka sudut B dan C masing-masing adalah (180 - 36) / 2 = 144 / 2 = 72 derajat.
2. Tarik garis bagi sudut B, memotong sisi AC di titik D. Ini akan menciptakan dua segitiga sebangun.
3. Segitiga BCD akan memiliki sudut-sudut 72, 36, dan 72 derajat (karena sudut CBD = 36, sudut BCD = 72, maka sudut BDC = 180 - 72 - 36 = 72).
4. Segitiga ABD akan memiliki sudut-sudut 36, 72, dan 72 derajat (karena sudut BAD = 36, sudut ABD = 72 - 36 = 36, maka sudut ADB = 180 - 36 - 36 = 108).
5. Karena segitiga BCD sebangun dengan segitiga ABC, perbandingan sisi-sisinya adalah sama. Misalkan panjang AB = AC = x, dan BC = y.
   Karena segitiga BCD sama kaki (sudut BDC = sudut BCD = 72), maka BD = BC = y.
   Karena segitiga ABD sebangun dengan ABC, maka perbandingan sisi-sisinya:
   AB/AC = BC/BD = AD/AB
   x/x = y/y = AD/x (ini tidak membantu)
   Kita gunakan sebangun BCD ~ ABC:
   BC/AB = CD/BC = BD/AC
   y/x = CD/y = y/x
   Dari sini kita dapatkan y^2 = x * CD.
   Juga, AC = AD + DC. Karena AC = x dan BD = y, maka DC = x - AD.
   Karena segitiga ABD sebangun dengan ABC:
   AD/AB = AB/AC
   AD/x = x/x (ini juga tidak membantu).
   Mari kita gunakan hubungan dari sebangun BCD ~ ABC:
   BC / AB = BD / AC  => y / x = y / x (sama saja)
   CD / BC = BC / AC => CD / y = y / x => CD = y^2 / x
   Karena AC = AD + CD, maka x = AD + y^2 / x
   AD = x - y^2 / x

   Sekarang kita perhatikan segitiga ABD. Sudut-sudutnya adalah 36, 72, 72. Ini adalah segitiga sama kaki dengan AB = BD = x.
   Jadi AD = x - y^2 / x. Karena segitiga ABD sama kaki dengan AB=BD, maka sisi yang berhadapan dengan sudut 72 derajat sama panjang. Sudut B=36, sudut A=36, sudut D=108.
   AB = BD = x.
   Sisi AD berhadapan dengan sudut ABD = 36.
   Sisi BD berhadapan dengan sudut BAD = 36.
   Sisi AB berhadapan dengan sudut ADB = 108.
   Jadi, segitiga ABD adalah sama kaki dengan AD = BD = y.

   Sekarang kembali ke perbandingan sebangun BCD ~ ABC:
   BC / AB = BD / AC
   y / x = y / x

   Mari gunakan pendekatan lain: Perhatikan segitiga sama kaki ABC dengan sudut A=36, B=72, C=72. Tarik garis bagi dari B ke AC di D. Maka sudut ABD=36, sudut DBC=36, sudut BDC=72.
   Karena sudut BDC = sudut BCD = 72, segitiga BCD sama kaki dengan BD = BC = y.
   Karena sudut BAD = sudut ABD = 36, segitiga ABD sama kaki dengan AD = BD = y.
   Jadi, AC = AD + DC = y + DC.
   Karena segitiga ABC sebangun dengan BCD:
   AC / BC = BC / CD
   (y + DC) / y = y / CD
   CD(y + DC) = y^2
   CD*y + CD^2 = y^2
   CD^2 + y*CD - y^2 = 0
   Ini adalah persamaan kuadrat untuk CD dalam y. Menggunakan rumus kuadrat:
   CD = [-y ± sqrt(y^2 - 4*1*(-y^2))] / 2
   CD = [-y ± sqrt(y^2 + 4y^2)] / 2
   CD = [-y ± sqrt(5y^2)] / 2
   CD = [-y ± y*sqrt(5)] / 2
   Karena panjang harus positif, CD = y*(sqrt(5) - 1) / 2.

   Sekarang kita punya AC = AD + CD = y + y*(sqrt(5) - 1) / 2 = y * [1 + (sqrt(5) - 1) / 2] = y * [(2 + sqrt(5) - 1) / 2] = y * (sqrt(5) + 1) / 2.

   Dalam segitiga ABC, kita bisa gunakan definisi sinus:
sin(36) = tinggi / sisi miring.
   Atau gunakan hukum sinus:
   BC / sin(A) = AC / sin(B)
   y / sin(36) = (y * (sqrt(5) + 1) / 2) / sin(72)
   y / sin(36) = y * (sqrt(5) + 1) / (2 * sin(72))
   1 / sin(36) = (sqrt(5) + 1) / (2 * sin(72))
   2 * sin(72) = sin(36) * (sqrt(5) + 1)
   Karena sin(72) = sin(2*36) = 2*sin(36)*cos(36):
   2 * (2*sin(36)*cos(36)) = sin(36) * (sqrt(5) + 1)
   4 * sin(36) * cos(36) = sin(36) * (sqrt(5) + 1)
   Karena sin(36) tidak nol, kita bisa membaginya:
   4 * cos(36) = sqrt(5) + 1
   cos(36) = (sqrt(5) + 1) / 4

   Sekarang kita bisa gunakan identitas sin^2(x) + cos^2(x) = 1 untuk mencari sin(36):
sin^2(36) = 1 - cos^2(36)
sin^2(36) = 1 - [ (sqrt(5) + 1) / 4 ]^2
sin^2(36) = 1 - [ (5 + 1 + 2*sqrt(5)) / 16 ]
sin^2(36) = 1 - [ (6 + 2*sqrt(5)) / 16 ]
sin^2(36) = 1 - [ (3 + sqrt(5)) / 8 ]
sin^2(36) = (8 - (3 + sqrt(5))) / 8
sin^2(36) = (5 - sqrt(5)) / 8

   Ini sepertinya salah. Mari kita cek kembali cos(36).
   Pendekatan lain untuk cos(36):
   Misalkan θ = 36°. Maka 5θ = 180°.
   2θ = 180° - 3θ.
   sin(2θ) = sin(180° - 3θ) = sin(3θ).
   2sin(θ)cos(θ) = 3sin(θ) - 4sin^3(θ).
   Karena sin(36°) ≠ 0, kita bisa membagi dengan sin(θ):
   2cos(θ) = 3 - 4sin^2(θ).
   2cos(θ) = 3 - 4(1 - cos^2(θ)).
   2cos(θ) = 3 - 4 + 4cos^2(θ).
   4cos^2(θ) - 2cos(θ) - 1 = 0.
   Ini adalah persamaan kuadrat untuk cos(θ). Menggunakan rumus kuadrat:
   cos(θ) = [ -(-2) ± sqrt((-2)^2 - 4*4*(-1)) ] / (2*4)
   cos(θ) = [ 2 ± sqrt(4 + 16) ] / 8
   cos(θ) = [ 2 ± sqrt(20) ] / 8
   cos(θ) = [ 2 ± 2*sqrt(5) ] / 8
   cos(θ) = [ 1 ± sqrt(5) ] / 4.
   Karena 36° berada di kuadran pertama, cos(36°) harus positif. Jadi:
   cos(36°) = (1 + sqrt(5)) / 4.

   Sekarang kita cari sin(36°):
sin^2(36°) = 1 - cos^2(36°)
sin^2(36°) = 1 - [ (1 + sqrt(5)) / 4 ]^2
sin^2(36°) = 1 - [ (1 + 5 + 2*sqrt(5)) / 16 ]
sin^2(36°) = 1 - [ (6 + 2*sqrt(5)) / 16 ]
sin^2(36°) = 1 - [ (3 + sqrt(5)) / 8 ]
sin^2(36°) = (8 - 3 - sqrt(5)) / 8
sin^2(36°) = (5 - sqrt(5)) / 8.

   Ini masih menghasilkan hasil yang aneh. Mari kita gunakan identitas sin^2(x) + cos^2(x) = 1 dengan nilai cos(36) yang benar:
   sin^2(36°) = 1 - ((1 + sqrt(5))/4)^2 = 1 - (1 + 5 + 2*sqrt(5))/16 = 1 - (6 + 2*sqrt(5))/16 = (16 - 6 - 2*sqrt(5))/16 = (10 - 2*sqrt(5))/16.
   sin(36°) = sqrt( (10 - 2*sqrt(5)) / 16 ) = sqrt(10 - 2*sqrt(5)) / 4.

   Ini adalah nilai sin(36). Nilai ini memang tidak sederhana tanpa kalkulator atau tabel.