Tanpa menghitung proses integrasi fungsi sinus, tunjukkan

\sin x \le 1 pada [0, \pi], sehingga \int_{0}^{\pi} \sin x dx \le \int_{0}^{\pi} 1 dx = \pi.

Pembahasan

Integral dari fungsi sinus dari 0 sampai \pi adalah \int_{0}^{\pi} \sin x dx. Kita tahu bahwa fungsi \sin x selalu bernilai positif atau nol pada interval [0, \pi]. Nilai maksimum \sin x adalah 1 (pada x = \pi/2), dan nilai minimumnya adalah 0 (pada x=0 dan x=\pi).\nKarena \sin x \ge 0 pada interval [0, \pi], maka integralnya akan positif. \nUntuk menunjukkan bahwa integral \le \pi, kita bisa menggunakan fakta bahwa \sin x \le 1 untuk semua x. Oleh karena itu, \int_{0}^{\pi} \sin x dx \le \int_{0}^{\pi} 1 dx. \nIntegral dari 1 dx dari 0 sampai \pi adalah [x] dari 0 sampai \pi, yaitu \pi - 0 = \pi. \nJadi, \int_{0}^{\pi} \sin x dx \le \pi terbukti benar tanpa perlu menghitung nilai integral sinus secara eksplisit.