Tentukan batas-batas nilai p yang memenuhi agar f(x)=1/3

Batas nilai p agar f(x) selalu naik adalah 0 < p < 4.

Pembahasan

Agar fungsi f(x) = 1/3 px³ + px² + 4x + 6 selalu naik, maka turunan pertamanya, f'(x), harus selalu positif (f'(x) > 0).

Langkah 1: Cari turunan pertama f(x).
 f'(x) = d/dx (1/3 px³ + px² + 4x + 6)
 f'(x) = (1/3) * 3px² + 2px + 4
 f'(x) = px² + 2px + 4

Langkah 2: Tentukan syarat agar f'(x) > 0.
Agar fungsi kuadrat px² + 2px + 4 selalu positif, ada dua kondisi yang harus dipenuhi:
1. Koefisien x² (yaitu p) harus positif (p > 0).
2. Diskriminan (D) harus negatif (D < 0).

Langkah 3: Hitung diskriminan (D).
Diskriminan dari persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 adalah D = b² - 4ac.
Dalam kasus f'(x) = px² + 2px + 4, kita punya a = p, b = 2p, dan c = 4.
Maka, D = (2p)² - 4(p)(4)
D = 4p² - 16p

Langkah 4: Tentukan syarat agar D < 0.
4p² - 16p < 0
4p(p - 4) < 0
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini, kita cari nilai p saat 4p(p - 4) = 0, yaitu p = 0 atau p = 4.
Karena bentuknya adalah parabola terbuka ke atas (koefisien p² positif), maka nilai 4p(p - 4) < 0 berada di antara akar-akarnya, yaitu 0 < p < 4.

Langkah 5: Gabungkan kedua syarat.
Syarat pertama adalah p > 0.
Syarat kedua adalah 0 < p < 4.
Kedua syarat ini harus dipenuhi secara bersamaan. Irisan dari p > 0 dan 0 < p < 4 adalah 0 < p < 4.

Jadi, batas-batas nilai p yang memenuhi agar f(x) selalu naik adalah 0 < p < 4.