Tentukan bayangan garis 3x - y + 2 = 0 jika diputar sejauh

Bayangan garis ditemukan dengan menerapkan rumus transformasi rotasi pada persamaan garis asli.

Pembahasan

Untuk menentukan bayangan garis 3x - y + 2 = 0 jika diputar sejauh pi/4 (45 derajat) dengan pusat O(0,0), kita perlu menggunakan transformasi rotasi. Misalkan titik (x, y) adalah titik pada garis asli, dan bayangannya adalah (x', y'). Rumus rotasi sebesar sudut θ dengan pusat O(0,0) adalah:
x' = x cos θ - y sin θ
y' = x sin θ + y cos θ
Dalam kasus ini, θ = pi/4, sehingga cos(pi/4) = sin(pi/4) = 1/sqrt(2).
Maka:
x' = x(1/sqrt(2)) - y(1/sqrt(2))
y' = x(1/sqrt(2)) + y(1/sqrt(2))
Untuk mencari persamaan garis bayangannya, kita perlu menyatakan x dan y dalam bentuk x' dan y'. Dari persamaan di atas, kita bisa mendapatkan:
x' sqrt(2) = x - y
y' sqrt(2) = x + y
Menjumlahkan kedua persamaan: (x' + y') sqrt(2) = 2x => x = (x' + y') / sqrt(2)
Mengurangkan persamaan pertama dari kedua: (y' - x') sqrt(2) = 2y => y = (y' - x') / sqrt(2)
Sekarang substitusikan x dan y ini ke dalam persamaan garis asli 3x - y + 2 = 0:
3 * ((x' + y') / sqrt(2)) - ((y' - x') / sqrt(2)) + 2 = 0
(3x' + 3y' - y' + x') / sqrt(2) + 2 = 0
(4x' + 2y') / sqrt(2) + 2 = 0
4x' + 2y' + 2 sqrt(2) = 0
Bagi dengan 2: 2x' + y' + sqrt(2) = 0
Jadi, bayangan garisnya adalah 2x + y + sqrt(2) = 0.