Tentukan bayangan: garis ekuivalen x akar(3)-y=0 jika

Bayangan garis adalah x = 2 - √(3)/2.

Pembahasan

Untuk menentukan bayangan garis ekuivalen x√(3) - y = 0 setelah rotasi sebesar 30 derajat dengan pusat rotasi (1, 2), kita perlu menggunakan rumus transformasi rotasi.

Misalkan titik (x, y) pada garis asli dipetakan ke titik (x', y') setelah rotasi.
Rumus rotasi dengan pusat (a, b) sebesar θ adalah:
x' - a = (x - a)cos(θ) - (y - b)sin(θ)
y' - b = (x - a)sin(θ) + (y - b)cos(θ)

Dalam kasus ini, (a, b) = (1, 2) dan θ = 30 derajat. Maka cos(30°) = √(3)/2 dan sin(30°) = 1/2.

x' - 1 = (x - 1)(√(3)/2) - (y - 2)(1/2)
y' - 2 = (x - 1)(1/2) + (y - 2)(√(3)/2)

Selanjutnya, kita perlu menyatakan x dan y dalam bentuk x' dan y'. Ini adalah invers dari transformasi rotasi.

x - 1 = (x' - 1)(√(3)/2) + (y' - 2)(1/2)
y - 2 = -(x' - 1)(1/2) + (y' - 2)(√(3)/2)

Substitusikan x dan y ini ke dalam persamaan garis asli x√(3) - y = 0:

(√(3)/2 * (x' - 1) + 1/2 * (y' - 2) + 1) * √(3) - (-(1/2)*(x' - 1) + √(3)/2 * (y' - 2) + 2) = 0

Kalikan dengan 2 untuk menyederhanakan:

(√(3)(x' - 1) + (y' - 2) + 2) * √(3) - (-(x' - 1) + √(3)(y' - 2) + 4) = 0

(3(x' - 1) + √(3)(y' - 2) + 2√(3)) - (-x' + 1 + √(3)y' - 2√(3) + 4) = 0

(3x' - 3 + √(3)y' - 2√(3) + 2√(3)) - (-x' + 1 + √(3)y' - 2√(3) + 4) = 0

(3x' + √(3)y' - 3) - (-x' + √(3)y' + 5 - 2√(3)) = 0

3x' + √(3)y' - 3 + x' - √(3)y' - 5 + 2√(3) = 0

4x' - 8 + 2√(3) = 0

4x' = 8 - 2√(3)

x' = (8 - 2√(3)) / 4

x' = 2 - √(3)/2

Karena x' dan y' adalah koordinat titik bayangan, kita bisa mengganti x' dengan x dan y' dengan y untuk menyatakan persamaan garis bayangan.

Persamaan bayangan garis adalah x = 2 - √(3)/2.