Tentukan bayangan titik P(-6, 4) oleh rotasi R[(3, 1), 45].

P''(-6\sqrt{2}+3, -3\sqrt{2}+1)

Pembahasan

Untuk menentukan bayangan titik P(-6, 4) oleh rotasi R[(3, 1), 45], kita perlu menerapkan transformasi rotasi.  Pertama, kita geser titik P sehingga pusat rotasi (3, 1) menjadi titik asal (0,0).
Koordinat P setelah digeser menjadi P' = (-6 - 3, 4 - 1) = (-9, 3).

Selanjutnya, kita rotasikan P' sebesar 45 derajat mengelilingi titik asal. Rumus rotasi sebesar \(\theta\) adalah:
$x' = x \cos \theta - y \sin \theta$
$y' = x \sin \theta + y \cos \theta$

Dengan \(x = -9\), $y = 3$, dan $\theta = 45^{\circ}$ (dimana $\cos 45^{\circ} = \sin 45^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$):
$x'' = -9 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) - 3 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{-9\sqrt{2} - 3\sqrt{2}}{2} = \frac{-12\sqrt{2}}{2} = -6\sqrt{2}$
$y'' = -9 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 3 \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{-9\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{2} = \frac{-6\sqrt{2}}{2} = -3\sqrt{2}$

Terakhir, kita geser kembali titik hasil rotasi sejauh pusat rotasi (3, 1).
Koordinat bayangan P adalah P'' = (-6\sqrt{2} + 3, -3\sqrt{2} + 1).