Tentukan turunan dari setiap fungsi berikut. a.

a. f'(x) = -1 / ((x-1)*akar(x^2-1)) b. f'(x) = (3x^2 + 3) / (2x^2*akar(x))

Pembahasan

Untuk menentukan turunan dari fungsi yang diberikan, kita akan menggunakan aturan turunan.

a. f(x) = akar(x+1) / akar(x-1)
Kita bisa menulis ulang fungsi ini sebagai f(x) = (x+1)^(1/2) / (x-1)^(1/2).
Untuk mencari turunannya, kita akan menggunakan aturan kuosien: (u/v)' = (u'v - uv') / v^2.
Misalkan u = (x+1)^(1/2) dan v = (x-1)^(1/2).
Maka, u' = (1/2)(x+1)^(-1/2) * 1 = 1 / (2*akar(x+1))
Dan, v' = (1/2)(x-1)^(-1/2) * 1 = 1 / (2*akar(x-1))
Sekarang kita masukkan ke dalam rumus aturan kuosien:
f'(x) = [ (1 / (2*akar(x+1))) * akar(x-1) - (x+1)^(1/2) * (1 / (2*akar(x-1))) ] / (x-1)
f'(x) = [ akar(x-1) / (2*akar(x+1)) - akar(x+1) / (2*akar(x-1)) ] / (x-1)
Untuk menyederhanakan bagian dalam kurung, samakan penyebutnya:
f'(x) = [ (x-1) / (2*akar(x+1)*akar(x-1)) - (x+1) / (2*akar(x+1)*akar(x-1)) ] / (x-1)
f'(x) = [ (x-1 - (x+1)) / (2*akar(x^2-1)) ] / (x-1)
f'(x) = [ (x-1-x-1) / (2*akar(x^2-1)) ] / (x-1)
f'(x) = [ -2 / (2*akar(x^2-1)) ] / (x-1)
f'(x) = [ -1 / akar(x^2-1) ] / (x-1)
f'(x) = -1 / ((x-1)*akar(x^2-1))

b. f(x) = x akar(x) - 1/(x akar(x))
Kita bisa menulis ulang fungsi ini sebagai f(x) = x^(3/2) - 1/(x^(3/2))
f(x) = x^(3/2) - x^(-3/2).
Sekarang kita turunkan masing-masing suku menggunakan aturan pangkat (n*x^(n-1)):
Turunan dari x^(3/2) adalah (3/2)*x^((3/2)-1) = (3/2)*x^(1/2) = (3/2)*akar(x).
Turunan dari x^(-3/2) adalah (-3/2)*x^((-3/2)-1) = (-3/2)*x^(-5/2).
Maka, f'(x) = (3/2)*akar(x) - (-3/2)*x^(-5/2)
f'(x) = (3/2)*akar(x) + (3/2)*x^(-5/2)
f'(x) = (3/2)*akar(x) + 3 / (2*x^(5/2))
Kita bisa menyederhanakan bagian kedua:
f'(x) = (3/2)*akar(x) + 3 / (2*x^2*akar(x))
Samakan penyebutnya:
f'(x) = (3*x^2) / (2*x^2*akar(x)) + 3 / (2*x^2*akar(x))
f'(x) = (3x^2 + 3) / (2x^2*akar(x))