Tentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan berikut.

Daerah penyelesaian adalah irisan dari area di bawah parabola y = -x² - 2x + 3 dan di bawah parabola y = (x+3)², tidak termasuk garis y = (x+3)².

Pembahasan

Untuk menentukan daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan y ≤ -x² - 2x + 3 dan y < x² + 6x + 9, kita perlu menggambar kedua grafik fungsi kuadrat tersebut dan menentukan daerah yang memenuhi kedua kondisi pertidaksamaan.

**1. Analisis Pertidaksamaan Pertama: y ≤ -x² - 2x + 3**
   - Ini adalah parabola yang terbuka ke bawah karena koefisien x² adalah negatif (-1).
   - Titik potong sumbu x: Atur y = 0, maka -x² - 2x + 3 = 0 atau x² + 2x - 3 = 0. Faktorkan menjadi (x+3)(x-1) = 0, sehingga x = -3 dan x = 1. Titik potongnya adalah (-3, 0) dan (1, 0).
   - Titik potong sumbu y: Atur x = 0, maka y = -(0)² - 2(0) + 3 = 3. Titik potongnya adalah (0, 3).
   - Sumbu simetri: x = -b/(2a) = -(-2)/(2*(-1)) = 2/(-2) = -1.
   - Titik puncak: Substitusikan x = -1 ke dalam persamaan, y = -(-1)² - 2(-1) + 3 = -1 + 2 + 3 = 4. Puncaknya adalah (-1, 4).
   - Daerah penyelesaian: Karena y ≤ ..., maka daerahnya adalah area di bawah atau pada parabola y = -x² - 2x + 3.

**2. Analisis Pertidaksamaan Kedua: y < x² + 6x + 9**
   - Ini adalah parabola yang terbuka ke atas karena koefisien x² adalah positif (1).
   - Perhatikan bahwa x² + 6x + 9 adalah bentuk kuadrat sempurna: (x+3)².
   - Jadi, pertidaksamaannya adalah y < (x+3)².
   - Titik potong sumbu x: Atur y = 0, maka (x+3)² = 0, sehingga x = -3. Titik potongnya adalah (-3, 0).
   - Titik potong sumbu y: Atur x = 0, maka y = (0+3)² = 9. Titik potongnya adalah (0, 9).
   - Sumbu simetri: x = -b/(2a) = -(6)/(2*1) = -3.
   - Titik puncak: Substitusikan x = -3 ke dalam persamaan, y = (-3+3)² = 0. Puncaknya adalah (-3, 0).
   - Daerah penyelesaian: Karena y < ..., maka daerahnya adalah area di bawah parabola y = (x+3)², tidak termasuk garisnya.

**3. Menentukan Daerah Penyelesaian Gabungan:**
   - Gambar kedua parabola pada sistem koordinat yang sama.
   - Daerah penyelesaian untuk y ≤ -x² - 2x + 3 adalah area di bawah atau pada parabola pertama.
   - Daerah penyelesaian untuk y < x² + 6x + 9 adalah area di bawah parabola kedua (tidak termasuk garisnya).
   - Daerah yang diraster adalah irisan (perpotongan) dari kedua daerah tersebut.

Karena kedua pertidaksamaan melibatkan 'y' yang kurang dari atau sama dengan/kurang dari suatu fungsi, daerah penyelesaiannya akan berada di bawah kedua kurva parabola tersebut. Anda perlu melihat di mana kedua daerah ini tumpang tindih. Titik potong antara kedua kurva juga perlu diperhatikan untuk mendefinisikan batas daerah penyelesaian secara tepat.