Tentukan dy/dx dengan turunan secara implisit masing-masing

dy/dx = (y sec^2(x/y)) / (y^2 + x sec^2(x/y)).

Pembahasan

Untuk menentukan dy/dx dengan turunan secara implisit dari ekspresi tan(x/y) = y, kita perlu menurunkan kedua sisi persamaan terhadap x, dengan mengingat bahwa y adalah fungsi dari x (y=y(x)).

Persamaan: tan(x/y) = y

Turunkan kedua sisi terhadap x:
d/dx [tan(x/y)] = d/dx [y]

Untuk sisi kiri, gunakan aturan rantai. Misalkan u = x/y.
Maka d/dx [tan(u)] = sec^2(u) * du/dx.

Sekarang kita perlu mencari du/dx, di mana u = x/y.
Gunakan aturan kuosien untuk du/dx:
du/dx = d/dx [x/y] = [(d/dx(x))*y - x*(d/dx(y))] / y^2
= [1*y - x*(dy/dx)] / y^2
= (y - x(dy/dx)) / y^2

Substitusikan kembali ke persamaan turunan sisi kiri:
sec^2(x/y) * [(y - x(dy/dx)) / y^2] = dy/dx

Sekarang, kita perlu menyelesaikan persamaan ini untuk dy/dx:
[sec^2(x/y) * y - sec^2(x/y) * x(dy/dx)] / y^2 = dy/dx

Kalikan kedua sisi dengan y^2:
sec^2(x/y) * y - sec^2(x/y) * x(dy/dx) = y^2 * (dy/dx)

Kelompokkan semua suku yang mengandung dy/dx di satu sisi:
sec^2(x/y) * y = y^2 * (dy/dx) + sec^2(x/y) * x(dy/dx)

Faktorkan dy/dx:
sec^2(x/y) * y = dy/dx * [y^2 + sec^2(x/y) * x]

Akhirnya, selesaikan untuk dy/dx:
dy/dx = [y * sec^2(x/y)] / [y^2 + x * sec^2(x/y)]

Jadi, dy/dx = (y sec^2(x/y)) / (y^2 + x sec^2(x/y)).