Tentukan f'(2) dan f'(-2) dari fungsi berikut.

f'(2) = (3√2)/4, f'(-2) tidak terdefinisi.

Pembahasan

Untuk mencari turunan pertama dari fungsi f(x) = (2x^3 - 3x^2)^(1/4), kita akan menggunakan aturan rantai.

Misalkan u = 2x^3 - 3x^2. Maka f(x) = u^(1/4).

Turunan u terhadap x adalah:
du/dx = d/dx (2x^3 - 3x^2) = 6x^2 - 6x

Turunan f terhadap u adalah:
df/du = d/du (u^(1/4)) = (1/4)u^(-3/4)

Menggunakan aturan rantai, f'(x) = df/du * du/dx:
f'(x) = (1/4)u^(-3/4) * (6x^2 - 6x)
Substitusikan kembali u = 2x^3 - 3x^2:
f'(x) = (1/4)(2x^3 - 3x^2)^(-3/4) * (6x^2 - 6x)
f'(x) = (6x^2 - 6x) / (4 * (2x^3 - 3x^2)^(3/4))

Sekarang kita hitung f'(2) dan f'(-2):

Untuk f'(2):
f'(2) = (6(2)^2 - 6(2)) / (4 * (2(2)^3 - 3(2)^2)^(3/4))
f'(2) = (6(4) - 12) / (4 * (2(8) - 3(4))^(3/4))
f'(2) = (24 - 12) / (4 * (16 - 12)^(3/4))
f'(2) = 12 / (4 * (4)^(3/4))
f'(2) = 12 / (4 * ( (2^2)^(3/4) ))
f'(2) = 12 / (4 * (2)^(6/4))
f'(2) = 12 / (4 * (2)^(3/2))
f'(2) = 12 / (4 * 2√2)
f'(2) = 12 / (8√2)
f'(2) = 3 / (2√2)
f'(2) = (3√2) / 4

Untuk f'(-2):
f'(-2) = (6(-2)^2 - 6(-2)) / (4 * (2(-2)^3 - 3(-2)^2)^(3/4))
f'(-2) = (6(4) + 12) / (4 * (2(-8) - 3(4))^(3/4))
f'(-2) = (24 + 12) / (4 * (-16 - 12)^(3/4))
f'(-2) = 36 / (4 * (-28)^(3/4))

Karena (-28)^(3/4) melibatkan akar pangkat genap dari bilangan negatif, nilai ini tidak terdefinisi dalam bilangan real. Oleh karena itu, f'(-2) tidak terdefinisi.