tentukan gradien, persamaan garis singgung, dan garis

Gradien = √2, Persamaan Garis Singgung: y = √2 x + √2(1 - π/4), Persamaan Garis Normal: y = (-√2/2)x + √2(1 + π/8).

Pembahasan

Untuk kurva f(x) = sec(x) pada x = π/4:

1. **Gradien (Kemiringan Garis Singgung):**
   Gradien dihitung dengan mencari turunan pertama dari fungsi f(x) dan mengevaluasinya pada titik yang diberikan.
   Turunan dari sec(x) adalah sec(x) tan(x).
   Jadi, f'(x) = sec(x) tan(x).
   Untuk mencari gradien pada x = π/4:
   f'(π/4) = sec(π/4) tan(π/4)
   Kita tahu bahwa sec(π/4) = 1 / cos(π/4) = 1 / (√2/2) = 2/√2 = √2.
   Dan tan(π/4) = 1.
   Maka, gradien (m) = f'(π/4) = √2 * 1 = √2.

2. **Persamaan Garis Singgung:**
   Persamaan garis singgung menggunakan rumus y - y1 = m(x - x1), di mana (x1, y1) adalah titik pada kurva dan m adalah gradien.
   Pertama, cari nilai y1 pada x = π/4:
   y1 = f(π/4) = sec(π/4) = √2.
   Titik singgung adalah (π/4, √2).
   Menggunakan rumus persamaan garis:
   y - √2 = √2 (x - π/4)
   y = √2 x - (√2 * π/4) + √2
   y = √2 x + √2 (1 - π/4)

3. **Persamaan Garis Normal:**
   Garis normal adalah garis yang tegak lurus terhadap garis singgung pada titik singgung. Gradien garis normal (m_normal) adalah negatif kebalikan dari gradien garis singgung (m).
   m_normal = -1 / m
   m_normal = -1 / √2 = -√2 / 2.
   Menggunakan rumus persamaan garis dengan gradien garis normal:
   y - y1 = m_normal (x - x1)
   y - √2 = (-√2 / 2) (x - π/4)
   y = (-√2 / 2) x + (√2 * π / 8) + √2
   y = (-√2 / 2) x + √2 (π/8 + 1)

Ringkasan:
- Gradien garis singgung: √2
- Persamaan garis singgung: y = √2 x + √2 (1 - π/4)
- Persamaan garis normal: y = (-√2 / 2) x + √2 (π/8 + 1)