Tentukan hasil dari limit trigonometri berikut a. lim

0

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit trigonometri berikut: 
$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{1 - \sin 2x}{\sqrt{4 + \sin x} - \sqrt{4 + \cos x}}$

Kita akan menggunakan substitusi langsung terlebih dahulu. Jika hasilnya adalah bentuk tak tentu (0/0), maka kita akan menggunakan metode lain seperti mengalikan dengan konjugat atau menggunakan identitas trigonometri.

Substitusi $x = \frac{\pi}{4}$:
Pembilang: $1 - \sin(2 \times \frac{\pi}{4}) = 1 - \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 - 1 = 0$

Penyebut: $\sqrt{4 + \sin(\frac{\pi}{4})} - \sqrt{4 + \cos(\frac{\pi}{4})} = \sqrt{4 + \frac{\sqrt{2}}{2}} - \sqrt{4 + \frac{\sqrt{2}}{2}} = 0$

Karena hasilnya adalah bentuk tak tentu 0/0, kita akan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari penyebut.
Konjugat penyebut adalah $\sqrt{4 + \sin x} + \sqrt{4 + \cos x}$.

$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{1 - \sin 2x}{\sqrt{4 + \sin x} - \sqrt{4 + \cos x}} \times \frac{\sqrt{4 + \sin x} + \sqrt{4 + \cos x}}{\sqrt{4 + \sin x} + \sqrt{4 + \cos x}}$

$= \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{(1 - \sin 2x)(\sqrt{4 + \sin x} + \sqrt{4 + \cos x})}{(4 + \sin x) - (4 + \cos x)}$

$= \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{(1 - \sin 2x)(\sqrt{4 + \sin x} + \sqrt{4 + \cos x})}{\sin x - \cos x}$

Kita tahu bahwa $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$. Jadi, pembilang menjadi $(1 - 2 \sin x \cos x)(\sqrt{4 + \sin x} + \sqrt{4 + \cos x})$.
Perhatikan bahwa $1 - 2 \sin x \cos x$ tidak langsung dapat disederhanakan dengan $\sin x - \cos x$. Namun, kita bisa menggunakan identitas $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$.

Mari kita coba pendekatan lain dengan menggunakan aturan L'Hopital karena kita mendapatkan bentuk 0/0.
Turunan pembilang: $\frac{d}{dx}(1 - \sin 2x) = -2 \cos 2x$
Turunan penyebut: $\frac{d}{dx}(\sqrt{4 + \sin x} - \sqrt{4 + \cos x})$
$= \frac{1}{2\sqrt{4 + \sin x}} \cos x - \frac{1}{2\sqrt{4 + \cos x}}(-\sin x)$
$= \frac{\cos x}{2\sqrt{4 + \sin x}} + \frac{\sin x}{2\sqrt{4 + \cos x}}$

Menggunakan aturan L'Hopital:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{-2 \cos 2x}{\frac{\cos x}{2\sqrt{4 + \sin x}} + \frac{\sin x}{2\sqrt{4 + \cos x}}}$

Substitusi $x = \frac{\pi}{4}$:
Pembilang: $-2 \cos(2 \times \frac{\pi}{4}) = -2 \cos(\frac{\pi}{2}) = -2 \times 0 = 0$

Penyebut: $\frac{\cos(\frac{\pi}{4})}{2\sqrt{4 + \sin(\frac{\pi}{4})}} + \frac{\sin(\frac{\pi}{4})}{2\sqrt{4 + \cos(\frac{\pi}{4})}}$
$= \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2\sqrt{4 + \frac{\sqrt{2}}{2}}} + \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2\sqrt{4 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$
$= \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2\sqrt{4 + \frac{\sqrt{2}}{2}}} + \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2\sqrt{4 + \frac{\sqrt{2}}{2}}} = 2 \times \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2\sqrt{4 + \frac{\sqrt{2}}{2}}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{4 + \frac{\sqrt{2}}{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{4 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Hasilnya masih $0 / \text{bukan nol}$, yang berarti limitnya adalah 0. Namun, mari kita periksa kembali langkah-langkahnya.

Ada kesalahan dalam penerapan L'Hopital atau identitas. Mari kita kembali ke bentuk setelah mengalikan konjugat:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{(1 - \sin 2x)(\sqrt{4 + \sin x} + \sqrt{4 + \cos x})}{\sin x - \cos x}$

Kita tahu bahwa $\sin x - \cos x = -(\cos x - \sin x)$. Dan kita bisa manipulasi pembilang.
Perhatikan bahwa $1 - \sin 2x = \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = (\cos x - \sin x)^2$. 
Jadi, pembilang menjadi $(\cos x - \sin x)^2 (\sqrt{4 + \sin x} + \sqrt{4 + \cos x})$.

Mengganti ini ke dalam limit:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{(\cos x - \sin x)^2 (\sqrt{4 + \sin x} + \sqrt{4 + \cos x})}{\sin x - \cos x}$

$= \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{(\cos x - \sin x)^2 (\sqrt{4 + \sin x} + \sqrt{4 + \cos x})}{-( \cos x - \sin x)}$

$= \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} -(\cos x - \sin x) (\sqrt{4 + \sin x} + \sqrt{4 + \cos x})$

Sekarang substitusikan $x = \frac{\pi}{4}$:
$= -(\cos(\frac{\pi}{4}) - \sin(\frac{\pi}{4})) (\sqrt{4 + \sin(\frac{\pi}{4})} + \sqrt{4 + \cos(\frac{\pi}{4})})$

$= -(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) (\sqrt{4 + \frac{\sqrt{2}}{2}} + \sqrt{4 + \frac{\sqrt{2}}{2}})$

$= -(0) (\sqrt{4 + \frac{\sqrt{2}}{2}} + \sqrt{4 + \frac{\sqrt{2}}{2}}) = 0$

Ternyata hasilnya tetap 0. Mari kita periksa kembali soal atau identitas yang digunakan.

Revisi identitas:
$1 - \sin 2x$. Kita bisa menggunakan $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ dan $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$. Maka $1 - \sin 2x = \sin^2 x + \cos^2 x - 2 \sin x \cos x = (\cos x - \sin x)^2$.

Penyebut: $\sqrt{4 + \sin x} - \sqrt{4 + \cos x}$.

Limitnya menjadi $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{(\cos x - \sin x)^2}{\sin x - \cos x} \times \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} (\sqrt{4 + \sin x} + \sqrt{4 + \cos x})$

$= \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} -(\cos x - \sin x) \times \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} (\sqrt{4 + \sin x} + \sqrt{4 + \cos x})$

$= -(\cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{4}) \times (\sqrt{4 + \sin \frac{\pi}{4}} + \sqrt{4 + \cos \frac{\pi}{4}})$

$= -(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) \times (\sqrt{4 + \frac{\sqrt{2}}{2}} + \sqrt{4 + \frac{\sqrt{2}}{2}})$

$= -(0) \times (2 \sqrt{4 + \frac{\sqrt{2}}{2}}) = 0$

Jika masih 0, ada kemungkinan ada kesalahan dalam soal atau pemahaman saya tentang bagaimana menyederhanakan. Namun, berdasarkan langkah-langkah aljabar dan trigonometri yang umum digunakan, hasil yang didapatkan adalah 0. Perlu dikonfirmasi ulang jika ada teorema atau identitas spesifik yang terlewat.

Mari kita coba kembali menggunakan L'Hopital, tapi pastikan turunannya benar.
$f(x) = 1 - \sin 2x 	\implies f'(x) = -2 \cos 2x$
$g(x) = \sqrt{4 + \sin x} - \sqrt{4 + \cos x}$
$g'(x) = \frac{1}{2\sqrt{4 + \sin x}} \cos x - \frac{1}{2\sqrt{4 + \cos x}} (-\sin x) = \frac{\cos x}{2\sqrt{4 + \sin x}} + \frac{\sin x}{2\sqrt{4 + \cos x}}$

Limitnya adalah $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ saat $x \to \frac{\pi}{4}$.
$\frac{-2 \cos (2 \times \frac{\pi}{4})}{\frac{\cos \frac{\pi}{4}}{2\sqrt{4 + \sin \frac{\pi}{4}}} + \frac{\sin \frac{\pi}{4}}{2\sqrt{4 + \cos \frac{\pi}{4}}}}$

$= \frac{-2 \cos \frac{\pi}{2}}{\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2\sqrt{4 + \frac{\sqrt{2}}{2}}} + \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2\sqrt{4 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

$= \frac{-2 \times 0}{\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2\sqrt{4 + \frac{\sqrt{2}}{2}}} + \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2\sqrt{4 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}} = \frac{0}{\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{4 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

$= 0$

Kesimpulan sementara berdasarkan metode yang digunakan adalah 0. Namun, soal limit trigonometri terkadang memiliki trik khusus. Jika jawaban yang diharapkan bukan 0, mungkin ada kesalahan dalam penulisan soal atau identitas yang harus digunakan.

Mari kita periksa ulang apakah ada cara menyederhanakan ekspresi $\frac{1 - \sin 2x}{\sin x - \cos x}$.
Kita tahu $\sin x - \cos x$. Jika kita kuadratkan: $(\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 - \sin 2x$.
Jadi, $1 - \sin 2x = (\sin x - \cos x)^2$. 

Limitnya menjadi:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{(\sin x - \cos x)^2}{\sin x - \cos x} \times \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} (\sqrt{4 + \sin x} + \sqrt{4 + \cos x})$

$= \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} (\sin x - \cos x) \times \lim_{x \to \frac{\pi}{4}} (\sqrt{4 + \sin x} + \sqrt{4 + \cos x})$

$= (\sin \frac{\pi}{4} - \cos \frac{\pi}{4}) \times (\sqrt{4 + \sin \frac{\pi}{4}} + \sqrt{4 + \cos \frac{\pi}{4}})$

$= (\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) \times (\sqrt{4 + \frac{\sqrt{2}}{2}} + \sqrt{4 + \frac{\sqrt{2}}{2}})$

$= (0) \times (2 \sqrt{4 + \frac{\sqrt{2}}{2}}) = 0$

Masih menghasilkan 0. Kemungkinan besar jawabannya memang 0, atau ada kesalahan dalam soal yang diberikan.