Tentukan hasil dari soal limit berikut lim ->0 (1-cos

Hasil dari limit tersebut adalah 1/2.

Pembahasan

Untuk menentukan hasil dari soal limit berikut lim_{x->0} (1-cos 2x)/(2x sin 2x):
Kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan x=0, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.
Turunan dari pembilang (1 - cos 2x) adalah -(-sin 2x * 2) = 2 sin 2x.
Turunan dari penyebut (2x sin 2x) menggunakan aturan perkalian: (2 * sin 2x) + (2x * cos 2x * 2) = 2 sin 2x + 4x cos 2x.

Maka, limitnya menjadi: lim_{x->0} (2 sin 2x) / (2 sin 2x + 4x cos 2x)
Jika kita substitusikan x=0 lagi, kita masih mendapatkan bentuk 0/0. Jadi, kita gunakan aturan L'Hopital lagi.

Turunan dari pembilang (2 sin 2x) adalah 2 * cos 2x * 2 = 4 cos 2x.
Turunan dari penyebut (2 sin 2x + 4x cos 2x) adalah (2 cos 2x * 2) + (4 cos 2x + 4x * (-sin 2x * 2)) = 4 cos 2x + 4 cos 2x - 8x sin 2x = 8 cos 2x - 8x sin 2x.

Maka, limitnya menjadi: lim_{x->0} (4 cos 2x) / (8 cos 2x - 8x sin 2x)
Sekarang, substitusikan x=0:
(4 cos 0) / (8 cos 0 - 8 * 0 * sin 0) = (4 * 1) / (8 * 1 - 0) = 4 / 8 = 1/2.

Alternatif lain menggunakan identitas trigonometri:
1 - cos 2x = 2 sin^2 x
sin 2x = 2 sin x cos x

Maka, limitnya menjadi: lim_{x->0} (2 sin^2 x) / (2x * 2 sin x cos x)
= lim_{x->0} (2 sin^2 x) / (4x sin x cos x)
= lim_{x->0} (sin x) / (2x cos x)
= lim_{x->0} (sin x / x) * (1 / (2 cos x))
Kita tahu bahwa lim_{x->0} (sin x / x) = 1.
Maka, limitnya menjadi: 1 * (1 / (2 cos 0))
= 1 * (1 / (2 * 1)) = 1/2.

Jadi, hasil dari soal limit tersebut adalah 1/2.