Tentukan hasil integral tak tentu fungsi aljabar berikut.

\(2\sqrt{x^2+x-3} + C\)

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral tak tentu dari fungsi \(\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x-3}} dx\), kita dapat menggunakan metode substitusi.

Misalkan \(u = x^2+x-3\).
Maka, turunan \(u\) terhadap \(x\) adalah \(\frac{du}{dx} = 2x+1\).
Sehingga, \(du = (2x+1) dx\).

Substitusikan \(u\) dan \(du\) ke dalam integral:
\(\int \frac{1}{\sqrt{u}} du\)

Ini dapat ditulis sebagai:
\(\int u^{-1/2} du\)

Gunakan aturan pangkat untuk integral: \(\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C\)

Dalam kasus ini, \(n = -1/2\).
Maka, integralnya adalah:
\(\frac{u^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} + C = \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = 2u^{1/2} + C\)

Substitusikan kembali \(u = x^2+x-3\):
\(2\sqrt{x^2+x-3} + C\)

Jadi, hasil integral tak tentu dari \(\frac{2x+1}{\sqrt{x^2+x-3}} dx\) adalah \(2\sqrt{x^2+x-3} + C\).