Tentukan hasil kali dari matriks A dan B jika matriksnya

Perkalian matriks A=[1 2 3] dan B=[3 5 2] tidak terdefinisi dalam perkalian matriks standar karena dimensi matriks tidak cocok. Namun, jika yang dimaksud adalah produk skalar (dot product) atau perkalian A dengan transpos B, hasilnya adalah 19.

Pembahasan

Untuk mengalikan matriks A = [1 2 3] dan B = [3 5 2], kita perlu memastikan bahwa dimensi matriks memungkinkan perkalian dan melakukan operasi perkalian matriks.

Matriks A memiliki dimensi 1x3 (1 baris, 3 kolom).
Matriks B memiliki dimensi 1x3 (1 baris, 3 kolom).

Perkalian matriks standar adalah sebagai berikut: jika matriks P berdimensi $m 	imes n$ dan matriks Q berdimensi $n 	imes p$, maka hasil perkalian PQ akan berdimensi $m 	imes p$.

Dalam kasus ini, A adalah $1 	imes 3$ dan B adalah $1 	imes 3$. Agar perkalian matriks $A 	imes B$ dapat dilakukan, jumlah kolom matriks pertama (A) harus sama dengan jumlah baris matriks kedua (B). Di sini, jumlah kolom A adalah 3, dan jumlah baris B adalah 1. Karena $3 \neq 1$, perkalian matriks $A 	imes B$ dalam urutan ini tidak dapat dilakukan sesuai dengan aturan perkalian matriks standar.

Namun, jika B adalah matriks kolom (vertikal) atau A adalah matriks baris dan B adalah matriks kolom, maka perkalian mungkin dapat dilakukan. Jika kita mengasumsikan bahwa matriks yang dimaksud adalah vektor baris A dan matriks kolom B (B^T), atau sebaliknya, maka perkalian bisa dilakukan.

Mari kita asumsikan ada kesalahan dalam penulisan soal dan yang dimaksud adalah perkalian dot (skalar) antara dua vektor jika keduanya ditulis sebagai vektor baris, atau perkalian matriks jika salah satunya adalah transpos dari yang lain.

Jika A adalah matriks baris $1 	imes 3$ dan B adalah matriks baris $1 	imes 3$, perkalian matriks $A 	imes B$ tidak terdefinisi.

Jika yang dimaksud adalah perkalian dot (produk skalar) antara vektor A dan vektor B, maka hasilnya adalah:
$A \cdot B = (1 \times 3) + (2 \times 5) + (3 \times 2) = 3 + 10 + 6 = 19$.

Jika yang dimaksud adalah perkalian matriks $A 	imes B^T$, di mana $B^T$ adalah transpos dari B:
$B^T = \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ 2 \end{bmatrix}$
$A \times B^T = [1 \, 2 \, 3] \times \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ 2 \end{bmatrix} = (1 	imes 3) + (2 	imes 5) + (3 	imes 2) = 3 + 10 + 6 = 19$.
Hasilnya adalah matriks $1 	imes 1$ yang berisi nilai 19.

Jika yang dimaksud adalah perkalian matriks $A^T 	imes B$, di mana $A^T$ adalah transpos dari A:
$A^T = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$
$A^T 	imes B = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix} 	imes [3 \, 5 \, 2]$
Perkalian ini menghasilkan matriks $3 	imes 3$:
$A^T 	imes B = \begin{bmatrix} 1 	imes 3 & 1 	imes 5 & 1 	imes 2 \\ 2 	imes 3 & 2 	imes 5 & 2 	imes 2 \\ 3 	imes 3 & 3 	imes 5 & 3 	imes 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 5 & 2 \\ 6 & 10 & 4 \\ 9 & 15 & 6 \end{bmatrix}$.

Mengingat format soal yang umum, kemungkinan besar yang dimaksud adalah perkalian dot atau perkalian matriks $A 	imes B^T$. Jika kita harus memilih satu interpretasi yang paling mungkin menghasilkan jawaban numerik tunggal, maka perkalian dot atau $A 	imes B^T$ adalah yang paling masuk akal.

Namun, jika kita harus mengikuti aturan perkalian matriks standar $A 	imes B$ dengan $A = [1 \, 2 \, 3]$ dan $B = [3 \, 5 \, 2]$, perkalian ini tidak terdefinisi karena dimensi matriks tidak cocok untuk perkalian standar.