Nilai lim x->2 sin(x-2)/(x^2-3x+2) adalah

1

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to 2} \frac{\sin(x-2)}{x^2-3x+2}$, kita bisa menggunakan substitusi atau aturan L'Hopital. Pertama, faktorkan penyebutnya: $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$.

Maka, limitnya menjadi $\lim_{x \to 2} \frac{\sin(x-2)}{(x-1)(x-2)}$.

Kita tahu bahwa $\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} = 1$. Biarkan $u = x-2$. Ketika $x \to 2$, maka $u \to 0$.

Jadi, limitnya dapat ditulis ulang sebagai $\lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{(u+2-1)(u)} = \lim_{u \to 0} \frac{\sin(u)}{u} \times \lim_{u \to 0} \frac{1}{u+1}$.

Ini menjadi $1 \times \frac{1}{0+1} = 1 \times 1 = 1$.

Atau menggunakan aturan L'Hopital karena bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$ saat $x=2$: turunan dari $\sin(x-2)$ adalah $\cos(x-2)$, dan turunan dari $x^2-3x+2$ adalah $2x-3$.

Maka, limitnya menjadi $\lim_{x \to 2} \frac{\cos(x-2)}{2x-3} = \frac{\cos(2-2)}{2(2)-3} = \frac{\cos(0)}{4-3} = \frac{1}{1} = 1$.