Tentukan akar-akar dari setiap persamaan polinomial

$x=1$, $x=\pm 1/3$, $x=\pm 1/2$

Pembahasan

Untuk menentukan akar-akar dari persamaan polinomial $36x^5 - 36x^4 - 13x^3 + 13x^2 + x - 1 = 0$, kita dapat mencoba menggunakan Teorema Akar Rasional dan faktorisasi.

Teorema Akar Rasional menyatakan bahwa jika sebuah polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap akar rasionalnya dapat ditulis sebagai p/q, di mana p adalah faktor dari konstanta (dalam hal ini -1) dan q adalah faktor dari koefisien utama (dalam hal ini 36).

Faktor dari -1 (p): ±1
Faktor dari 36 (q): ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36

Kemungkinan akar rasional (p/q): ±1, ±1/2, ±1/3, ±1/4, ±1/6, ±1/9, ±1/12, ±1/18, ±1/36, ±1/36

Mari kita coba beberapa nilai:

Untuk $x = 1$: $36(1)^5 - 36(1)^4 - 13(1)^3 + 13(1)^2 + 1 - 1 = 36 - 36 - 13 + 13 + 1 - 1 = 0$. Jadi, $x=1$ adalah salah satu akar.
Ini berarti $(x-1)$ adalah faktor.

Untuk $x = -1$: $36(-1)^5 - 36(-1)^4 - 13(-1)^3 + 13(-1)^2 + (-1) - 1 = 36(-1) - 36(1) - 13(-1) + 13(1) - 1 - 1 = -36 - 36 + 13 + 13 - 1 - 1 = -72 + 26 - 2 = -48 
eq 0$. Jadi, $x=-1$ bukan akar.

Untuk $x = 1/6$: $36(1/6)^5 - 36(1/6)^4 - 13(1/6)^3 + 13(1/6)^2 + 1/6 - 1$
Ini akan menjadi perhitungan yang panjang. Mari kita perhatikan struktur polinomialnya:
$P(x) = 36x^5 - 36x^4 - 13x^3 + 13x^2 + x - 1$
Kita bisa memfaktorkan sebagian:
$P(x) = 36x^4(x-1) - 13x^2(x-1) + 1(x-1)$
$P(x) = (x-1)(36x^4 - 13x^2 + 1)$

Sekarang kita perlu mencari akar dari $36x^4 - 13x^2 + 1 = 0$.
Ini adalah persamaan kuadrat dalam $x^2$. Misalkan $y = x^2$, maka persamaan menjadi:
$36y^2 - 13y + 1 = 0$

Kita bisa memfaktorkan persamaan kuadrat ini atau menggunakan rumus kuadrat.
Faktorisasi:
Kita mencari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan $36 	imes 1 = 36$ dan jika dijumlahkan menghasilkan -13. Bilangan tersebut adalah -9 dan -4.
$36y^2 - 9y - 4y + 1 = 0$
$9y(4y - 1) - 1(4y - 1) = 0$
$(9y - 1)(4y - 1) = 0$

Maka, kita punya dua kemungkinan:
1. $9y - 1 = 0 \implies 9y = 1 \implies y = 1/9$
2. $4y - 1 = 0 \implies 4y = 1 \implies y = 1/4$

Sekarang kita substitusikan kembali $y = x^2$:
1. $x^2 = 1/9 \implies x = \pm\sqrt{1/9} \implies x = \pm 1/3$
2. $x^2 = 1/4 \implies x = \pm\sqrt{1/4} \implies x = \pm 1/2$

Jadi, akar-akar dari persamaan polinomial $36x^5 - 36x^4 - 13x^3 + 13x^2 + x - 1 = 0$ adalah:
$x = 1$, $x = 1/3$, $x = -1/3$, $x = 1/2$, $x = -1/2$.